Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
<а+ (t)a (*')> г> = Же^-П. (8)
С помощью (3.2.20) это выражение можно представить в виде <а+ (t)a (0)><г> = —лг [a+ (Z), a (0)] = Ж (G (Z) + G* (-Z)). (9)
Эта связь между вторым моментом, коммутатором и функцией Грина в равновесных системах согласно ФДТ (§ 2.4) универсальна (если под JV в случае негармонических переменных понимать оператор [ехр (—ihftd/dt) — I]-1). Она позволяет сразу выразить вторые моменты для компонент электрического или магнитного поля (или для их фурье-образов) через соответствующие функции Грина, что мы и сделаем в следующем параграфе для пространства, заполненного средой.
§ 4.2. Фл\ктуации макроскопического поля в веществе
Формально здесь также можно исходить из ансамбля Гиббса, однако чтобы сразу исключить не интересующие нас молекулярные переменные и выразить моменты поля через макрохарактеристику среды — диэлектрическую восприимчивость,— проще воспользоваться ФДТ (§ 2.4). Обычно эту задачу решают в два этапа [143, 144]. На первом полагают флуктуирующим параметром поляризацию среды P и находят с помощью ФДТ <P2>, а на втором переходят от P к электрическому полю E с помощью уравнений Максвелла: = G2 <Р2У (здесь G — функция или оператор Грина). В однородной среде, однако, можно сразу считать флуктуирующим параметром поле. Ниже мы сравним эти два метода расчета равновесных флуктуаций поля в coA-представлении.
Далее мы найдем <А'2> в /.'/-представлении и обсудим возможность наблюдения равновесных величин. В заключение этого раздела будут получены простые выражения для равновесного &>Лг-спектра в случае изотропной среды и однополюсной аппроксимации дисперсии.
Будем исходить из следующего выражения для энергии взаимодействия:
W= -J IifJP-E = -Sn3V-12 Pfc- Е-к. (1)
Двухэтапный расчет. Положим в (2.4.1) параметром системы }} компоненту поляризации Pka, тогда из (1) следует, что в качестве внешней силы надо взять 8nsEka/v. Переходя к спектральным ве- <114 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ЛИНЕЙНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ [ГЛ. 4
личинам и определяя восприимчивость среды согласно Jjfcto = = Xka-Eka, находим соответствие
Xjy (2л)"4 Vdk^Xkuaa' = (2л)-3 O (к — к') Хшаа', (2)
так что из (2.4.24) следует
<Pjta.1VO1') = -^Г O (Л + 0 + (Zto - (3)
Согласно (2.4.32) %ка = поэтому
<PP')fct0 = -iL-ж«,- (%ш - *?„.), (4)
где индексы 7с, со в левой части означают, что соответствующие 6-функции опущены.
На втором этапе Pfcto подставляем в качестве ланжевеновой силы в неоднородные уравнения Максвелла, рассматриваемые как стохастические уравнения для поля. В спектральной форме эти уравнения имеют вид (§ 3.4)
Ek и = Gka • Pfcto, (5)
Gk«= ^ Jtfc — XkJj (6)
С помощью (5) образуем матрицу вторых моментов поля
(EkaEk^y = Gka-(РкаРк>а>у - Gk-и' (7)
и, подставив (4), находим
^ЕЕ'ука= jr'G.(x~x*)-G-. (8)
Прямой путь. С другой стороны, флуктуации равновесного поля в бесконечной среде логичней и проще находить, полагая в ФДТ именно поле наблюдаемой величиной, а поляризацию -среды — заданной силой:
fi-*Eka, F^ejtV1Psa. (9)
Аналогично (4) находим
(EEr)ka = -J^f JT'(G-G+). (10)
Какая же формула правильная — (8) или (10)? Легко с помощью (6) проверить, что они одинаковы, так как
X-X+ = (Grt)+ - Я"1 = G-1 • (G - G+) - (G+)'і (И)
(последнее равенство является матричным аналогом равенства ImCr1) = -Imz/| я I2). § 4.2]
ФЛУКТУАЦИИ МАКРОСКОПИЧЕСКОГО ПОЛЯ
115
Итак, электромагнитные «шумы» внутри вещества пропорциональны неэрмитовой части функции Грина для уравнений Максвелла Cr, которую можно выразить через линейную восприимчивость і (сама функция Грина является «восприимчивостью вакуума» по отношению к действующим на него зарядам). В гл. 6 будет показано, как эта связь используется для измерения х в ИК-диа-пазоне. Заметим, что правая часть (10) без фактора JV равна согласно (2.4.25) коммутатору операторов невозмущенного поля Eka-
Подчеркнем, что справедливость (10) не ограничена предположением о линейности вещества. Нелинейность изменяет второй момент поля лишь снаружи вещества (с этим обстоятельством связан любопытный парадокс — см. § 5.1), т. е. в рамках второй постановки задачи. Кроме того, нелинейность нарушит связь (6) (так как возникнут дополнительные каналы потерь и дисперсии за счет трансформации волн с разными частотами) и приведет к появлению высших разночастотных моментов как внутри, так и снаружи (см. следующую главу).
В окнах прозрачности вещества матрица % становится эрмитовой, однако матрица G — G+ остается конечной — при малом поглощении она пропорциональна б (&> + кц), где ыц — дисперсионная функция (§ 3.4).
Аналогичные (10) формулы имеют место и в других представлениях (kt, го, rt), так что задача определения равновесных вторых моментов сводится к отысканию функций Грина в соответствующем представлении, т. е. к решению динамической задачи — феноменологической или микроскопической (заметим, что часто представляет интерес обратная задача вычисления восприимчивости с помощью равновесных моментов). Например, г «-флуктуации в изотропной среде определяются через е (со) мнимой частью (3.4.36) (ср. с формулой (90.23) в [143], полученной двухэтапным методом).
