Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Закон дисперсии. Уравнение (15) можно записать в эквивалентном виде (уравнение Френеля, см. [143]):
det {с2к2я — ю28 (ft®)} = 0. (16)
В поглощающей среде так что nv — комплексные вели-
чины и уравнение Френеля удовлетворяется лишь при комплексных о) и (или) к, что соответствует экспоненциальному затуханию (Im со <; 0) нормальных волн во времени и (или) пространстве. Пусть к — действительный вектор, тогда (І5) определяет несколько комплексных функций <й = (I)VH (к), где V = 1, 2 — индекс поляризации, а индекс-р. учитывает появление дополнительных решений (15) вследствие частотной дисперсии е (со).
Решение уравнения Френеля при фиксированных &>, v, р и к (т. е. функция, обратная к оьд (к)) также может быть многозначным вследствие пространственной дисперсии [8]. Дополнительные решения с большим значением к соответствуют так называемым «новым» волнам, впервые рассмотренным Пекаром. Новые волны наблюдаются вблизи экситонных частот в кристаллах.
Многозначная функция о= coVn (к), определяющая фазовую скорость нормальной волны c/nv = Wj-Jk, называется законом дисперсии', совокупность пяти параметров {k, v, р} = к мы будем называть модой, а комплексное число ю, — собственной ча- § 3.4]
ФУНКЦИЯ ГРИНА
105
стотой моды. Заметим, что при фиксированном к корни уравнения (15) из-за множителя со2 двойные: юі±) = ± ck/nv (O)Ift'), однако можно показать, что числа &>s+) и к>і_) отличаются лишь знаками действительных частей. Решение с положительной действительной частью мы обозначим через Wfc:
«4+) == cofc, cofc_' = — со*, Re cofc 0, Im COfc <^0. (17)
Электрическое поле нормальной волны параллельно орту поляризации, определенному при ft> = COfct^:
ei±Y^e'v(k, co(fc±>). (18)
Итак, в свободном поле частота и длина волны жестко связаны законом дисперсии, а при наличии источников (в частности, при вычислении равновесного поля с помощью ФДТ — см. § 4.2) — независимы. В последнем случае закон дисперсии в форме (15а) (п = ±rev) можно рассматривать как условие «частотно-волнового» резонанса, при котором отклик электромагнитного «вакуума» в среде на возмущение резко возрастает (см. (9)).
Переход к fei-представлению. Умножив (8) на оператор Фурье J da ехр (—tcoZ), получим
E (kt) = J dt'G (к, t—t') ¦ P (kt'), (19)
2 2 G (kt) = ^Tj Gv (kt) = -Jjr [ dm-™tGv (fcco) e'v?v. (20)
V=I V=I "
Чтобы найти этот интеграл в явном виде, будем рассматривать подынтегральное выражение / (се) как функцию комплексного переменного и воспользуемся теоремой вычетов, согласно которой интеграл по замкнутому контуру равен умноженной на 2пі сумме вычетов в полюсах / (со), лежащих внутри контура:
Jz(W)Cto= 2лі 2 Res{/ (W^1)). (21)
с м-
Функция Gv (kt) — отклик моды на короткий импульс тока или поляризации в момент t = 0, и по принципу причинности она должна содержать множитель 0 (г) (ср. (3.1.24)). Далее, функция /(co) пропорциональна ехр (сo"t), и поэтому контур интегрирования при t > 0 надо замыкать полуокружностью в нижней полуплоскости (где (о 0), а при t < 0 — в верхней. В последнем случае 6 (г) = О и, следовательно, спектральная функция Грина Gv (ксо) не должна иметь полюсов «вверху»: Col і < 0« Это условие обеспечивает затухание отклика при t —»ос.
Вклад в интеграл (21) от полуокружности равен нулю из-за множителя ехр (оft), так что с учетом (9) и (10)
V-I (ее е~ш 1
Gy (kt) = - 4я?6 (t) > Res -2L2L-_ J . (22)
t± cos2Pv J 0,=.(+)
к -106
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики
[ГЛ. 3
Вычет отношения U ((Ji)Iw (со), в котором W имеет простой нуль в точке Q, равен и (Q) (dw/dсо)^1. Чтобы воспользоваться этим правилом, разложим / (ш) на простые дроби:
1 = J?L/_I_+_L_\ (23)
2сЧ [к - kv к + kvf v '
L. r= reV01 Vex \
Vv С С COS р.. /
С С COS Pv
В результате (22) принимает вид
Gv (Ы) = Є (t) J1 (д^е-^ - дРе**" ), (24)
91
I4r' = 2nik
дК, \"1
OCO
(25)
=COfc
Знание функции Грина для нормальных волн позволяет с помощью ФДТ (2.4.19) находить равновесные флуктуации макрополей (§ 4.2). Кроме того, по формуле (2.4.8) можно определить и коммутаторы полей, т. е. проквантовать феноменологические уравнения Максвелла.
Далее будем пренебрегать поглощением и пространственной дисперсией. Ниже будет показано, что при этом производную (25) можно выразить через групповую скорость, так что
Gv (kt) = 4л6 (t) 21 sin Wut, (26)
м.
где коэффициент \ определен в (35). Сравнение (26) с (3.1.27) при учете P = j показывает, что электрическое поле в прозрачной среде в I2 раз больше, чем в вакууме (при одинаковых сторонних поляризациях).
Пусть Pv (Ы) = Р08 (t), тогда согласно (19) и (26) поле в «моде» k = {fc, V, р}будет, как и в случае вакуума, зависеть от времени гармонически с собственной частотой &>с. В веществе, однако, орты поляризации имеют определенную ориентацию (в случае анизотропного вещества), и они могут быть комплексными и не поперечными относительно к. Кроме того, поле с фиксированным и волновым вектором к и типом поляризации v в общем случае содержит много гармоник, отличающихся индексом р. Но если нас интересует поле с частотами, близкими к одной из ветвей р закона дисперсии, то мы можем его представить как сумму гармонических осцилляторов и легко перейти к квантовому описанию (аналогично § 3.2).
