Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
= Jd2z|z><z|Z0> = ^ Jd2z|z(Z)>(z|Zo>. (56)
Из (54) и (29) находим зависимость от времени матрицы плотности в представлении Шредингера:
pHi (t) = ^cPzP (Z) I Z (Z)Xz (Z) I, (57)
которая определяет эволюцию статистики в случае смешанного начального состояния, допускающего /"-представление.
Найдем теперь динамику оператора уничтожения в различных представлениях. Из (46) и (13) следует закон изменения оператора «огибающей»
a" (Z) == §+а§ = а + а (Z), (58)
отличающийся от гейзенберговского оператора тривиальным экспоненциальным множителем
а? (*) == %+а% = [a + a (t)}e~x. (59) -100
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики
[ГЛ. 3
Полагая здесь а = 0, получим оператор а0 в представлении взаимодействия (50). Таким образом, заданный ток добавляет к операторам рождения и уничтожения «скалярную» величину, равную классической вынужденной амплитуде (3.1.22) (формулы типа (58) более правильно писать в виде a -f/a (Z). Наконец, в «штрихованном» представлении (2.3.10) согласно (52)
a' (Z) = Я+аЯ = a + a (Z) е~х. (60)
Наблюдаемые величины, конечно, не зависят от представления. Например, при когерентном начальном состоянии в представлениях Шредингера и Гейзенберга средняя амплитуда моды равна согласно (54) и (59):
<(z + а)е~х J a I (z + а) е~хУ = <z | (а + а) е~х | z> = (z + а)е~х.
Изменение статистики поля во времени удобно описывать с помощью %-функцнн (35), в которой р и а надо писать в каком-либо одном представлении. Например, в случае когерентного начального состояния (ср. (39) )
Хког (0 = el»Wl'>, (61)
где функция Z (Z) определена после формулы (55). В случае равновесного начального состояния из (32) следует
X (Z) = (62)
Такое состояние называется смещенцым гауссовым, в классической теории вероятностей ему соответствует суперпозиция гармонического сигнала и хаотического шума. Если начальное поле было в состоянии вакуума, то из (61) при z = 0 следует
X (Z) = ехр {pa* (Z) еш — р*а (t)e~iat}. (63)
Таким образом, классический ток изготавливает поле в когерентном состоянии. Нормально-упорядоченные моменты при этом будут равны <а+"а"> = | a (Z) | 2П.
Матрица рассеяния поля. Мы рассмотрели эволюцию статистики поля в простейшем случае — под действием детерминированного тока. Как правило, однако, следует ток также считать оператором и рассматривать совместное изменение общей статистики поля и вещества в результате их взаимодействия. При описании оптических экспериментов нас обычно не интересует эволюция состояния вещества, и его роль сводится к преобразованию статистики падающего поля (которое в общем случае может быть нестационарным, импульсным). Таким образом, задачей теории является вычисление %-функции (или матрицы плотности) рассеянного поля % == %' через X (—— X и начальную %-функцию § 3.4]
ФУНКЦИЯ ГРИНА
101
вещества. Подчеркнем, что преобразование % %' с исключенными переменными вещества уже не является унитарным, и поэтому оно описывается кинетическим уравнением (вместо уравнений Шредингера или Гейзенберга). С феноменологической точки зрения, наличие образца эквивалентно действию некоторого оператора %' = U%, зависящего от параметров образца (температуры, формы и т. д.). Практически обычно задаются на «входе» (Z0 = —оо) и измеряются на «выходе» (Z = оо) лишь моменты низшего порядка, и задача сводится к отысканию матриц рассеяния, осуществляющих преобразование -у
§ 3.4. Функция Грина и квантование макроскопического поля в среде
Внутри вещества, кроме поля от внешних источников, имеется поле, созданное заряженными частицами вещества. Если не учитывать теплового хаотического движения частиц и соответствующего ему флуктуационного поля, а также пренебрегать мелкой пространственой структурой поля с масштабом порядка межатомного расстояния, то такое усредненное поле, называемое макроскопическим, можно описывать с помощью феноменологических уравнений Максвелла.
Если, далее, пренебречь поглощением, то макрополе можно проквантовать согласно общим правилам перехода от классических уравнений движения к квантовым (§ 2.1). Мы сперва рассмотрим общий случай поглощающей однородной среды и определим функцию Грина уравнений Максвелла в г® и &со-представ-лениях. Последняя понадобится нам для описания рассеяния света на поляритонах и позволит ввести понятия нормальных волн, ортов поляризации и закона дисперсии.
Феноменологические уравнения Максвелла. Из уравнений (3.1.1) и (3.1.2) следует, что плотности тока и заряда связаны уравнением непрерывности р + div j = 0 и поэтому их можно описать одним вектором поляризации Р, который мы определим равенством P = j. Разделим поляризацию на три части: заданную внешними силами Р, индуцированную силой Лоренца P' (Е, II) її вызванную невозмущенным тепловым движением зарядов. Последняя часть приводит к тепловому излучению и пока учитываться не будет (см. гл.4, 5). Если обозначить D = E + 4яP', то уравнения Максвелла — Лоренца примут следующий вид:
D — с rot H = — 4лР, II + с rot E = О, div D = — 4л div Р,
div H = 0.
(la (16 (їв) (Ir) -102
