Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
тп
Среднее значение этого оператора называется нормально-упорядоченной характеристической (или моментопроизводящей) функцией или, короче, ^-функцией:
X (р, ц*) = <х (р, Ji*)) = Sp {9е^е-»*а}. (35)
Из этого определения следует, что производные % в нулевой точке равны нормально-упорядоченным моментам:
Отсюда
(/норм (а\ а)> = / (-^-, - I0 (37)
(предполагается, конечно, что распределение таково, что моменты существуют). Согласно (ЗІ) и (35) функции P и х связаны двумер- § 3.3]
ВОЗМОЖНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ
97
ным преобразованием Фурье:
X (Ш F*) = ^dHP (z) еМ'Чх-:. (38)
В случае N-, z- и У-состояний /-функция равна соответственно Xn = Ln (I ji J2),
Xz = ехр (pz* — p*z), (39)
Xr = ехр (— Ж I |Л I 2)
(здесь Ln (х) — полином Лежандра, подробнее см. [161]).
Правило коммутации аа>+ = а+а + 1 позволяет по «нормальным» моментам (36) находить «антинормальные» <ата+"> и сим-метризованные моменты. Проще, однако, их находить из соответствующих /-функций [161]:
/анти = = е-№Хнорм, (40а)
/сим = = (406)
Указанные связи с «нормальной» /-функцией /норм = X легко получить с помощью следующего операторного тождества (вывод см. [2], с. 162):
еf+g _ efeg+[g, Я/2 = eeef+lf, gm (41)
(предполагается, что / и g коммутируют с [/, g]). В частности,
еца++кі<і __ еца+еіі(а+ч/2) _. glials+-її/2). (41а)
Фурье-образы (40) аналогично (38) являются распределениями КВаЗИВерОЯТНОСТеЙ Ранти, Pсим (подробнее см., например, [161]). Функцию Pcnm (z) называют распределением Вигнера.
Из определения (35) следует еще одно удобное свойство мультипликативности функции /: /-функция суммы нескольких независимых случайных величин равна просто произведению /-функций этих величин. Например, согласно (40а) можно считать, что на входе каждой моды идеального квантового или параметрического усилителя (реагирующего на антинормальные моменты), кроме «истинного» сигнала с /-функцией /норм, действует еще независимый «квантовый шум» с гауссовой характеристической функцией ехр ( — [А[Х*).
Моменты суммы независимых величин не равны, конечно, сумме моментов, однако можно составить комбинации моментов Kmn (называемых кумулянтами или семиинвариантами), обладающих этим свойством аддитивности. Кумулянты определяются разложением
Inx- S *„„-M=S^1 »4
vi, п=0 -98
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики
[ГЛ. 3
из которого следует, что в случае гауссовой статистики все кумулянты, кроме второго (K11 = <а+а.у), равны нулю.
Динамика состояния поля. До сих пор мы не учитывали зависимости векторов и операторов от времени. Будем считать, что все написанные выше соотношения относятся к фиксированному моменту времени Z0 = 0. По определению в этот момент векторы и операторы в различных временных представлениях (§ 2.3) совпадают: a (Z0) = аш (i0) = а. Таким образом, две наши системы базисных функций являются собственными векторами шредин-геровских операторов невозмущенной энергии и уничтожения фотонов и относятся к моменту Z0:
I Ny = I N, Z0), I 2) — I z, Z0). (43)
Согласно § 2.3 переход к другим моментам времени осуществляется с помощью унитарных операторов эволюции
Шо (Z) = е~т+а (х = ZcoZ,\
%(t) = %a1(t) = %o(-t)
и 0U (или § = cHotU). Можно показать [1], что решение уравнения (2.3.5а) для оператора S с гамильтонианом (3.2.6) имеет [вид
§ (Z) — Є«а+-а*а+іФ) (45) __f
a (Z) ^ і У ^gl ^dfem'і (Г), о
\ tI
Ф (Z) ~ ig!- jj CZZ1 J dt2 Im / (Z1) f (Z2) е««'.-У. о о
Сравнение (45) и (13) показывает, что классический (т. е. детерминированный, заданный) ток переводит поле из одного когерентного состояния в другое:
S (Z) = 3) [а (Z)] (46)
(фаза ф опущена, так как она выпадает при образовании наблюдаемых величин). Полный оператор эволюции согласно (44) и (46) равен
% (?) = (а) = е-і«о(а+аеаг+-а*а_ (47)
Теперь мы можем выразить операторы и векторы в любом временном представлении — гейзенберговском, дираковском и т. д.— через шредингеровские операторы а+, а и начальный (гейзенберговский) вектор состояния I toy.
Рассмотрим сперва унитарное преобразование с помощью оператора невозмущенной эволюции (44). С помощью (1), (2) и (8) § 3.31
ВОЗМОЖНЫЕ состояния поля
99-
легко находим динамику свободного поля (х = тZ):
I N, ty' = cU01 N) = e-N* I Ny, (48)
I z, ty' = <M0|z> = 2| N, t}\N I z> = I ze-»>, (49)
JV
a°(t)~cUta4l0 = ae-x (50)
(последнее равенство можно получить умножив а0 (t) на | Ny с учетом (6)). Из (50) следует, что произвольная операторная функция в представлении взаимодействия изменяется во времени по закону
/° (а+, а) = / (а+ех, ае~х). (51)
В частности, из (51) и (2.3.9) следует
M = 3){ae-X), Я* = 2){—ае-х). (52)
Эволюцию вектора состояния с учетом возмущения легко найти в случае когерентного начального состояния. При этом согласно (13),(46) и (49) вектор состояния в других представлениях
остается когерентным:
I z, ty = S I z> = I Z + а (Z)>, (53)
I Z, Z>™ = % I z> = I Z (*)>, (54)
I z, Z>" E= S+ I z> = I z (Z) - a (Z)> (55)
(z (Z) = [z + a (Z)]e-ico'). Отсюда при произвольном начальном состоянии следует
