Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В настоящей главе равновесное поле в вакууме и в линейной сплошной среде обсуждается кратко в §§ 4.1 и 4.2 соответственно, а следующие разделы посвящены ТИ. В § 4.3 дается краткое описание макроскопического метода расчета ТИ с помощью ФДТ. Этот ь?етод развивался в основном Левиным и Рытовым [144, 162], получившими общую формулу («обобщенный закон Кирхгофа»), выражающую вторые моменты поля через диэлектрическую проницаемость и функцию Грина для макроскопических уравнений Максвелла. В § 4.4 выводится новая форма обобщенного закона Кирхгофа (ОЗК), выражающая моменты поперечного поля через матрицу упругого рассеяния Uifjt- по отношению к фурье-амплиту-дам Eu (или операторам ак) [137, 184]. Далее, в § 4.5 ОЗК выводится другим способом — с помощью однофотонного кинетического уравнения для поля, из которого следует гауссов характер статистики ТИ. Наконец, в §§ 4.6 и 4.7 рассматривается связь моментов поля в дальней зоне излучателя с моментами операторов рождения и уничтожения. § 4.1]
СТАТИСТИКА РАВНОВЕСНОГО ПОЛЯ
111
§ 4.1. Статистика равновесного поля
в свободном пространстве
Статистические свойства- «черного излучения», т. е. свободного электромагнитного поля, находящегося в тепловом равновесии, хорошо известны [1, 143, 163], и мы здесь лишь напомним некоторые моменты (в основном логического и терминологического характера).
Равновесный статистический оператор. Как отмечалось в §2.2, вся информация о произвольной квантовостатистической модели (называемой системой) содержится в статистическом операторе р. Термин равновесный означает, что система находится в контакте с термостатом и ее статистика описывается каноническим ансамблем Гиббса, для которого
р=р (T) = Z-V-^, (1)
Z = Spe-P^, ? = l/xr.
Разложение поля по модам (по плоским волнам в случае бесконечного пространства или по собственным типам колебаний в случае замкнутой полости с зеркальными стенками) позволяет представить гамильтониан поля в виде диагональной квадратичной формы (3.2.15), так что (1) факторизуется:
Р(Г) - П РЇТ) = П Zi1 ехр (- H?(ukaiak), (2)
к к
Zk1= 1 — ехр (— U?cofc).
Эта формула означает, что моды статистически независимы.
Характеристическая функция. Зная р, можно найти распределение любой наблюдаемой величины или найти ее нормально-упорядоченную /-функцию (§ 3.3). Согласно (3.3.39) для одной моды
Х(,Т) = ехр(-Ж,(х,^), -(3)
где JVk— среднее число фотонов в моде:
<W*><T> = JVк = (ехр Щщ - l)-i. (4)
Это число называют также параметром вырождения. Важнейшее свойство /-функции заключается в том, что /-функция суммы независимых случайных величин равна произведению их /-функций. В результате из (3) легко получаем /-функцию всего равновесного поля:
/(Г) = ехр (— = ехр(— IU • Jf ¦ ja*) . (5)
к
Статистика фотонов. Другой интересной характеристикой поля является распределение числа фотонов P (N) в какой-либо моде. <112 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ЛИНЕЙНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ [ГЛ. 4
G помощью (2.2.26) и (2) легко находим, что это распределение будет «дискретно-больцмановским» 3) (индекс к опускаем):
PW(N) = Sv (р\ NXN \)= Z-1^-ftPwwSW- (6)
N-
Сумма в (6) обеспечивает дискретность распределения. Заметим, что распределение (6) монотонно спадает с ростом аргумента, в отличие от пуассоновского (3.3.22) при (N) 2.
Удобной мерой интенсивности относительных флуктуаций случайной величины является корень из дисперсии (т. е. из второго центрального момента), деленный на первый момент. Для теплового распределения
= = СП
Второе слагаемое под корнем, отсутствующее в случае пуассо-новской статистики, приводит к большим флуктуациям даже при JT 1. Такой же результат получается, если применить общие принципы статистической физики к неразличимым бозе-частицам. Иногда говорят, что первое и второе слагаемые под корнем в (7) соответствуют корпускулярной и волновой «компонентам» в дуализме «волна-частица» и что наличие второго слагаемого характеризует стремление фотонов группироваться вместе.
Если наблюдаемой величиной является общее число фотонов N'
8
в нескольких близких по частоте модах (ЛГ= 2 ./Vfc) , то из (6)
Jr=I
следует (см. вывод в [2J)
= 1J=Ztft+ T- (7а)
Таким образом, относительные флуктуации падают с ростом числа степеней свободы. Надо сказать, что в экспериментах по «счету фотонов» с помощью ФЭУ измеряется на Л", а число фотоэлектронов п, выбиваемых из фотокатода с квантовой эффективностью г) ¦< 1, поэтому наблюдаемые относительные флуктуации равны
/і^+^УЧг+т- (7б)
Здесь первое слагаемое под корнем обусловлено дробовым шумом, т. е. дискретностью заряда. Число мод g, которые «видит» детектор, определяется установленными перед ним пространственными и частотными фильтрами и временем счета (§ 4.6). Впрочем, мы здесь перешли уже к свойствам ТИ, а не равновесного поля.
1J Его называют также геометрическим, так как оно образует геометрическую прогрессию, или распределением Бозе — Эйнштейна. § 4.2]
ФЛУКТУАЦИИ МАКРОСКОПИЧЕСКОГО ПОЛЯ
113
До сих пор речь шла о распределении статических величин или о средних от нескольких одновременных операторов. Однако переход к многовременным наблюдаемым, т. е. к функциям корреляции, тривиален, так как в случае свободного поля операторы зависят от времени гармонически. Например,
