Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Квантование поля в среде. Рассмотрим энергию нормальной волны с амплитудой EkrK заключенную в объеме L3. Из уравне- § 3.4] ФУНКЦИЯ ГРИНА
ний Максвелла следует (см. [8], с. 97), что
107
pip dtk
-L- 5 dt jj dr(E.J) H-H)
—со L3
т і ^ і*-ні-} ¦ <27>
(дисперсией векторов поляризации для простоты пренебрегаем). Энергия магнитного поля в нормальной волне согласно (46) и (11) пропорциональна величине
I Wv X ev I2 = Hv [1 — (е* • е3)(е3 • ev)] = п\е*-11 ¦ ev= Ev, поэтому (?[г> E= ?І+) *)
O (W2Sv)
lHf dt-к
L3 Г [ a (Mev) I ч (+) ls
I. d^L + ?v j 1 ^te I — "4F
(OdG)
(28)
Будем далее считать амплитуды нормальной волны операторами, пропорциональными операторам ак, ак в представлении Шредингера (ср. (3.2.29)) с правилами коммутации (3.2.9):
Е[+)^Гскак, E^ —> — г с, at і =
(29)
Коэффициенты пропорциональности выберем так, чтобы произведение Йо)лакак равнялось энергии свободного поля в моде (28):
ск = 1ск= lY InhakL"3, I2 = 2
Можно ожидать, что многие соотношения квантовой оптики для вакуума (§§ 3.2, 3.3) сохраняют силу для макрополя в прозрачном веществе при соответствующей замене ортов поляризации и умножении коэффициентов ск на Efc. Следует подчеркнуть, однако, что фотон в среде (называемый также поляритоном или свето-жситоном) является квазичастицей со сложным законом дисперсии и конечным временем жизни. Представление поля как «газа» из независимых бозе-частиц имеет^смысл лишь в приближении линейной оптики и при пренебрежении поглощением.
Соответствия (29) относятся к свободной волне с определенным направлением распространения. В общем случае их надо заменить на следующее соотношение между операторами^в представлении
a (Oftsv)
coda)
(30) -108 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики [ГЛ. 3
Гейзенберга (ср. (3.2.14)):
E (rt) = і S е%ак (Z) eik-r + э. с., (31)
H(rt) = i*2i(nk X et) CkCLk {t)eik-r + э. е., (32)
к
к = {fc, V, (х).
Производную в (30) можно выразить через групповую скорость. Пренебрежем частотной дисперсией угла pfc между электрическим полем и индукцией, тогда
g2 "ft ^ ,ОО,
сЧ COS2Pfc дк ' К '
Нетрудно показать [8], что «сигнал» (т. е. огибающая пакета из нормальных волн) со средним волновым вектором к движется (в приближении edit = 0 и д'2ык/дк2 = 0) без искажения, причем направление и скорость его распространения определяются вектором групповой скорости Vcoa- s ик. Пусть вектор к получает приращение А к || к, тогда собственная частота моды изменяется на Acojc = ик-Ак, так что
дч>к
—= Uk COSpfc, (34)
где Pft — угол, между ик и к. Если не учитывать пространственную дисперсию, то Uk Il (Ek X Hk) и pfc = pfc, так что
lkvi- - Зяйсо^м^.
ск = у cL3r> -.««n ' (3 ^
C2 COS Pfc ' У cl3rfs COS Pfc '
где vk = с/пк — фазовая скорость.
Представление юг. Трехмерное фурье-преобразование выражения (9) определит функцию Грина, связывающую E и JP в юг-представлении. В случае изотропной среды без пространственной дисперсии, когда S = Ib (со), преобразование дает (со 0)
e (tor) =(ф, г), (36)
g(q,,r) = j(i +-^-^)-^(1+-^--^) =
(37)
ф = kar, г = г/г, л = I — гг,
К = -f Vl = yf- (/|71+7 + І VHzr^)- § 3.4]
ФУНКЦИЯ ГРИНА
109
Формулу (36) можно также представить в виде
sv, \ f 0)2 -Г I1 д 9I е<8Г®Г
G (cor) = I + —^jr ¦-^-} -Jr- . (38)
В анизотропной среде трехмерное фурье-преобразование функции G ((ofc) можно выполнить в явном виде, лишь если точка наблюдения находится в дальней зоне относительно области с отличной от нуля поляризацией. С помощью диадного представления (9) можно показать, что
Е = Й- E -sAr S ^8-4"* • JP «И, (39)
V=I
kv = wv(o/с = ^ev- е- ev , (40)
где fcv — комплексный волновой вектор v-й нормальной волны, параллельный JB и удовлетворяющий дисперсионному уравнению to = ft>v (к), и ev, ev — соответствующие единичные векторы поляризации.
Подчеркнем, что в анизотропной среде длина нормальных волн и показатель преломления зависят от направления распространения. Например, для необыкновенных волн в прозрачном одноосном кристалле из уравнения Френеля (15) следует
^) = (-?^+ ^rP' (41)
где а — угол между к и оптической осью кристалла и ех = 8У, Sz — главные (собственные) значения тензора диэлектрической проницаемости. Обратим внимание, что связь (41) в полярных координатах изображается эллипсом, лишь если оба главных значения положительны. Если же &х или Sz отрицательны, то (41) соответствует пара гипербол. Г Л А В А 4
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ЛИНЕЙНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Хотя тепловое излучение (ТИ) нагретого вещества — классический объект физики, изучение которого положило почти сто лет назад начало квантовой механики, некоторые его особенности, связанные с многофотонными переходами, мало исследованы. Предварительно в этой главе будет рассмотрена статистика теплового электромагнитного поля в однофотонном приближении. Влиянию многофотонных элементарных процессов на ТИ посвящена следующая глава.
Следует различать две основные постановки задачи. В первой рассматривается равновесное поле в бесконечном пространстве (пустом или заполненном веществом) или внутри замкнутой полости. Эта задача относится к равновесной статистической физике. Во второй рассматривается ТИ в вакууме, создаваемое образцом конечных размеров (или занимающим полупространство, слой), температура которого поддерживается постоянной во времени и пространстве (несмотря на радиационное охлаждение). Формально такая задача входит в сферу влияния неравновесной статистической физики. Как следует из дальнейшего, связь между ТИ и равновесным полем не всегда тривиальна.
