Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики
[ГЛ. 3
При последовательном квантовом подходе здесь все величины (кроме Р) следует считать операторами в представлении Гейзенберга, причем P' зависит от операторов и поля и вещества. Однако в макроскопической электродинамике поля обычно считаются детерминированными величинами, усредненными по объему, меньшему К3, но все еще содержащему много частиц. При этом P' (E, Н) вычисляется по теории возмущения и усредняется по ансамблю с помощью матрицы плотности вещества (подробнее см. [8, 11, 13]). Получающиеся в результате макроскопические уравнения Максвелла описывают эволюцию поля под действием внешних Источников с учетом затухания и их можно рассматривать как кинетические уравнения (§ 2.5) для первых моментов поля. В окнах прозрачности вещества затуханием можно пренебречь и тогда эти уравнения определяют унитарное преобразование полей, так что последние можно считать операторами.
Возможен и чисто феноменологический подход, при котором постулируется определенная функциональная связь между P' и макрополями Е, H (мы не вводим новых обозначений для усредненных полей). Если не учитывать явную зависимость от Н, то эту связь можно записать в следующем символическом виде:
Это формальное равенство исключает из рассмотрения бесчисленное множество микроскопических переменных, описывающих движение зарядов, и позволяет разделить задачу на два этапа — вычисление в рамках той или иной модели явного вида связи (2) и решение уравнений (1) при известной зависимости JP' (E). В приближении линейной оптики учитывается лишь первое слагаемое в (2) и оптические свойства среды полностью описываются линейной восприимчивостью = X или диэлектрической проницаемостью.
Функция Грина для поля в среде. Для «алгебраизации» дифференциальных уравнений Максвелла в случае однородной в пространстве и во времени среды мояшо разложить поля с помощью четырехмерных интегралов Фурье (3.2.31). При этом (2) в линейном приближении примет вид
(точка означает суммирование — свертку по соседним индексам: (%¦E)i = хцЕj), а уравнения (1) станут алгебраическими:
P' (E) = х<1 т + X^E2 + ^E3 + . .
(2)
P (Jm) = X (Aa>) • E (къ)
(3)
е-Е — пх II= — 4JtP, H — п X E = О, ik • г ¦ E = — 4лк • Р, к ¦ II О,
(4а) (46) (4в) (4г) § 3.4]
ФУНКЦИЯ ГРИНА
103
где п = ск/ы и аргументы к, &> (которые мы полагаем пока действительными) опущены. Тензор диэлектрической проницаемости e(fcft>) = I + 4лу, (ко) при учете зависимости от к (называемой пространственной дисперсией) описывает и магнитные свойства среды [8], поэтому мы не различаем магнитную индукцию и магнитное поле: H ^= В. Заметим, что равенство (4в) не является независимым, так как оно следует из (4а) при умножении последнего на к. Согласно (4в) в случае свободного поля (когда P = O) вектор индукции -D = е-Eперпендикулярен вектору к. Подставим (46) в (4а), тогда
(п%л -г) - E = 4яР, (5)
где мы ввели тензор проектирования на перпендикулярную к плоскость:
я E= J —кк (к = к/к), (6)
или в ортогональных координатах: ntj = Sij — ktkj. Определим тензорную функцию Грина
Cr (yfcco) = 4я (п2л — є)-1, (7)
тогда из (5) и (46) следует
E = GV, II = UX(G-P). (8)
Таким образом, проблема отыскания полей излучения в однородной анизотропной среде с известной проницаемостью є при заданных источниках сводится в Аг&>-представлении к нахождению обратной матрицы — одной из стандартных задач линейной алгебры.
В Приложении (формула (П.40)) показано, что тензор (7) можно представить в виде следующей суммы трех диад:
G= 21 Gv = %Gve[-ev, (9)
v=i v
Gv =-^-=-^-Г-, (Ю)
(„2 _ „^ C0S2 . („2Я _ 8) . е
где п* и ev — собственные значения и левые собственные векторы матрицы я-е-1, e'v — правые собственные векторы е_1-л и pv — обобщенный угол анизотропии:
COS2 pv = ev • л • ev = eY/re?, ^
ev SS ev • E • ev, I ex I = 1, 7?2 = 0, COS Рз = 0.
Согласно (8) и (9) функция Грина для магнитного поля равна
Gm = 2 (п X ev) evGy. (12) -104
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики
[ГЛ. 3
Нормальные волны. Обычно в оптике решаются граничные задачи, в которых источники поля находятся вне рассматриваемой области L3 и поле является свободным, т. е. удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла. Согласно (5) эти уравнения в A1 ©-представлении имеют вид
(/X2Jt- е) • E0 = 0. (13)
Умножив это равенство слева на е-1/п2, получим
(е-1 . л — п'21) ¦ E0 = 0, (14)
откуда следует, что свободное электрическое поле E0 (&&>) в общем случае является суперпозицией трех нормальных волн Ev с поляризацией e'v И С определенной СВЯЗЬЮ между ft) и к\
(с/с/ю)2 = п2 = п\ (feto) (V = 1, 2), (15а)
е8 • е (&со) . е'3 = 0 (V = 3), (156)
Таким образом, в свободном поле (в отличие от вынужденного) о) и к не являются независимыми величинами. Величина nv называется коэффициентом преломления. Уравнение (156) удовлетворяется, лишь если вектор к параллелен одной из главных осей е [8] и в дальнейшем этот случай учитывать не будем (его можно считать предельным случаем для волн Cv = 1,2).
