Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Клышко Д.Н. -> "Фотоны и нелинейная оптика" -> 35

Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.

Клышко Д.Н. Фотоны и нелинейная оптика — Москва, 1980. — 259 c.
Скачать (прямая ссылка): fontaniinelineynayaoptika1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 100 >> Следующая


a+\N}= x\N'>, (4)

где X — действительное число. Отсюда по определению эрмитова оператора <N I a = X <N '[; перемножив эти два равенства и заменив аа+ на а+а + I, найдем с помощью (3), что Xі = (N \ а+а + I | iV> = N + 1. Умножим далее (4) слева на а+а:

а+ (а+а + I) \ N) = (N + 1)а+ | №> = xN' \ N'). Сравнив это выражение с исходным (4), получим N + 1 = N', так что

a+I N) = VN + 1 I N + 1>. (5)

Аналогично можно показать, что

a I N) = VN I N — 1>. (6)

Если принять энергию основного состояния моды за начало отсчета (т. е.

iVin = 0)' т0

N = 0, 1, 2, . . . (7)

Найдем теперь матрицу преобразования <N | zсвязывающую когерентный и энергетический базисы. Умножив (2) на (N I, получим рекуррентную связь между проекциями вектора I z> на направления <7V | и </V + 1 | : VN + 1 <iV + 1 | z> = = Z <iV|z>. Отсюда <7V| z> = zN (Nl)~'l2 <0 | z>, и, следовательно,

°° n

n = 0

Из (3) и условия нормировки <z I z> = 1 найдем модуль оставшейся неопределенной компоненты: | <0 | z> |2 = ехр (— | z | 2). Пусть <0 I z> — действительное число, тогда окончательно

<AMz> = z^ (ЛМу-^Н2!^,

^ (8) I zy = e-W*S (ZVl)-V2z"\Ny.

n

Заметим, что наши базисы имеют один общий вектор: | z = 0> = = I N = 0> = I 0>, который мы будем называть вакуумным.

Спектр {z} неэрмитова оператора а комплексный и непрерывный (так как а — q + ip), а его собственные векторы (см. Приложение) неортогональны. Действительно, с помощью (8) и (3) -92

ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики

[ГЛ. 3

находим

<z | z'> = <z | ЛҐ) | z'> = ехр [Vz' — -L (I ZI2 + I z' I2) J ,

(9)

|<z Iz'> I2 = ехр [- |z -Z' Iа].

Таким образом, когерентные состояния приблизительно ортогональны, если I Z — z'|>l. В то же время непрерывное множество векторов {|z>} полно (даже «сверхполно» [1]):

-L ^ d-z I Z > <z I — 7, (10)

где d2z = d (Re z) d (Im z) и интегрирование производится по всей комплексной плоскости.

Соотношения полноты (3) и (10) означают, что две рассмотренные системы «координат» перекрывают все гильбертово пространство возможных состояний моды поля (т. е. линейного осциллятора), так что любой вектор этого пространства можно представить в виде суммы векторов I Ny или I

j > = ^,|^)<Af|z) = 4-Sd2zlz><zl >• . W

n

Аналогично, любой тензор, связывающий линейно два вектора этого пространства, можно представить в виде двойной суммы диад:

/ = S /nn' I/VX г I = я'2 U2Zd2ZV I z)<z'|, (12)

NN' J

гДе Zzz- = I / I z'y. Отсюда находим наблюдаемые в состоянии I У величины

</>= S fNN' < I N} (N\ > = ...

nn'

Введем для дальнейшего оператор сдвига [1], который переводит когерентные состояния друг в друга:

= gza+-z*a _ gZa+g-z*a-|zp/2

2?z ko> = I + Z>, ф = Im (zzt), ¦ (13)

3)i = 3):1 = $-z, StaSDz = a + z.

Многомодовое поле. Обобщение рассмотренных базисов на многомодовый случай не представляет труда. Если состояния мод свободного поля приготовлены независимо, то волновая функция совокупности мод будет равна просто произведению волновых функций отдельных мод:

I Ч>> = I tl>l I 1>2>2 - - - I • • • = П I (14) § 3.31

ВОЗМОЖНЫЕ состояния поля

93-

Гильбертово пространство всего поля образуется «произведением»-отдельных модовых пространств с соответствующим бесконечно-кратным увеличением размерности.

Это пространство перекрывается, например, совокупностью-энергетических векторов

П INкУк = I /Vi, . . . Nk, . . .) = I cd). (15)

к

Поле в таком состоянии имеет определенную энергию:

Жо I = S b'»*aU* ПI AV)*' = S | ?>, (16)

к к'

где

S = ShnkNk (17)

(операторы акак действуют лишь на «свою» волновую функцию:

ata* I Sy = Nk \ S».

Определим оператор общего числа фотонов

ft = ^atak. (18)

к

В энергетическом состоянии (15) общее число фотонов N также определено:

NlSy = J1NhISy = NlSy. (19)

Вектор (15) задается бесконечной последовательностью целых чисел N1, N2, . . ., называемых числами заполнения. Произвольное состояние поля (в том числе с зависимыми модами) можно представить в виде

|> = 2Г?><?|>. (20>

где суммирование производится по всевозможным сочетаниям чисел заполнения. Аналогично (15) можно сконструировать когерентный базис с ортами | z ) = П | zkyk.

Независимость плоских мод (см. (14)) в реальных оптических экспериментах практически неосуществима, так как дифракция и упругое рассеяние перемешивают волновые функции мод с разными направлениями векторов к, euv и с одинаковой частотой ск. Упругое рассеяние на движущейся молекуле за счет эффекта Допплера делает статистически зависимыми и разночастотные моды. Этот же эффект дает неупругое (комбинационное) рассеяние. Примеры приготовления различных состояний поля будут приведены в следующих главах. Например, в § 5.3 будет описано состояние с определенной энергией и неопределенным числом фотонов. -94

ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики

[ГЛ. 3

Свойства базисных состояний. Согласно (5), (6) состояния <а+ I Ny, I Ny и а | Ny принадлежат энергиям, отличающимся на энергию фотона /ш,что и объясняет названия операторов а+ и а. Любое энергетическое состояние одной моды («jV-фотонное» состояние) можно представить в виде
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 100 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed