Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
\ Ny = (Nl)-1I'(a+)N\0y. (21)
Если поле находится в iV-фотонном состоянии, то измерение его энергии даст точное значение ЙсоN. В то же время результат отдельного измерения амплитуд поля q, р или а в А-состоянии предсказать невозможно, а при повторных измерениях I а | будет флуктуировать около среднего значения Vn.
Если же поле приготовлено в когерентном состоянии, то, наоборот, флуктуации амплитуды будут минимальны [1], а число фотонов будет флуктуировать согласно (8) по закону Пуассона:
I 7 l2JV
P(N) = K I Nyf = -LlL—<Г W. (22)
Распределение амплитуды и фазы поля в когерентном состоянии близки к классическому колебанию с определенной фазой и стабильной амплитудой [1]. Возможны и «сверхкогерентные» состояния с еще более определенной фазой [159].
Оптические детекторы, как уже отмечалось, обычно «реагируют» на нормально-упорядоченные операторы поля. В случае когерентного состояния усреднение нормально-упорядоченного момента согласно (2) дает
<z I а+пат I z> = z*nzm. (23)
Это свойство факторизации средних величин делает когерентный базис наиболее удобным при вычислениях. Из (23) следует, что если /норм (а+> о) — произвольная функция, в которой операторы уничтожения действуют раньше операторов рождения, то ее усреднение по когерентному состоянию с собственным значением Z производится просто заменой а+, а на z*, z:
</hopm>z = <z І /норм (a+, a) I z) = /норм (Z*, z). (24)
Например,
<a+a>z = I z I 2, (aa+yz = <a+a + /> z = | z |2 + 1.
Смешанные состояния. Как уже упоминалось в конце § 2.2, на практике приготовление реальных объектов, и в том числе электромагнитного поля, в каком-либо чистом состоянии — например, энергетическом или когерентном — встречается с большими трудностями. Чаще всего мы имеем дело со статистической смесью нескольких чистых состояний, описываемой матрицей плотности (2.2.41). В отличие от случая суперпозиции состояний (11) ба- § 3.31
ВОЗМОЖНЫЕ состояния поля
95-
зисные векторы входят в смешанное состояние с неопределенными, флуктуирующими фазами, и поэтому при образовании квадратичных выражений они не интерферируют (здесь имеется некоторая аналогия с невозможностью стационарной интерференции между некогерентными классическими волнами).
Свет солнца или электрической лампы соответствует модели поля, в которой каждая отдельная мода находится в смешанном состоянии, описываемом в энергетическом базисе больцмановской диагональной матрицей плотности:
р$>, = Sjvj-V (25)
где X = и T = 6000 или 3000 К (подробнее см. следующую
главу). Желтые лучи солнца согласно (25) состоят на 99,2% из вакуума с малой примесью однофотонного (0,8%) и двухфотон-ного (0,01%) состояний.
Средняя населенность уровней осциллятора (т. е. среднее число фотонов) в равновесном состоянии согласно (25) равна
<АО(Г) = Sp (р'г>а+а) = (ех — I)'1 = (26)
где мы ввели оператор числа фотонов N ~ а+а. Высшие моменты этого оператора в равновесном состоянии равны
<jvm>m = m\jrm. (27)
Такая же связь между моментами имеет место и для классической случайной величины 7 с непрерывным экспоненциальным распределением (ср. (25) )
P (/) = </>-!e-W>; (28)
такое распределение получается, если I = z*z = z'2 + z"2 и распределения независимых величин z' и z" — гауссовы (нормальные), поэтому мы будем называть равновесное распределение поля гауссовым.
Матрицу плотности можно представить и в когерентном базисе. Как показали Глаубер и Сударшан [1, 2], это представление для широкого класса возможных теоретических состояний диагонально (ср. (12) ):
р = Jd2ZP(Z)12><z|, (29)
где \d2zP (Z) = 1. Эта формула называется P-представлением оператора плотности. Если функция P (z) известна, то среднее-значение любого оператора можно найти по формуле
</> = Jd2ZP (Z) /„ . (30)
(эту формулу легко получить с помощью многократного применения разложений единицы (4), (10)). -96
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ оптики
[ГЛ. 3
/•-представление удобно для вычисления средних от нормально-упорядоченных операторов. Согласно (24) и (30)
(/норм а)> = J dHP (Z) /норм (z* 2). (31)
В случае равновесного состояния
= 1^-P (-^F1)' (32)
а в случае чистого когерентного состояния ( Z1)
Рког (2) = б<2> (Z - Z1). (33)
Существенно, что набор возможных квантово-статистических состояний осциллятора гораздо богаче набора, допускаемого классической статистикой. Так, если когерентные состояния еще имеют похожие классические состояния (детерминированное колебание с определенными фазой и амплитудой), то А-состояние не имеет в классике ничего похожего. Хотя мы еще не умеем пока приготавливать чистые А^-состоянпя поля (кроме вакуумного), экспериментальная квантовая оптика в принципе должна давать много неожиданных эффектов (например, недавно обнаруженный эффект антигруппировки [160]).
Характеристическая функция. Моменты проще вычислять не с помощью операции интегрирования (30), а с помощью дифференцирования. Для этого определим следующую нормально-упоря-доченную операторную функцию одной моды:
x^v^^^^Yi • <34>
