Фотоны и нелинейная оптика - Клышко Д.Н.
Скачать (прямая ссылка):
N11= SiN1 + Я-х N1 + \АХЖ (12)
(мы не учитываем возможного изменения поляризации). При нормальном падении к = —к, и (12) принимает форму «волноводного» закона Кирхгофа [144]. Если, наконец, отражений нет, то
Ak = 1 — ~?к и
N' = (3N + (1 - ?) Ж. (13)§ 4.4]
обобщенный закон кирхгофа (озк)
127
Высшие моменты ТИ. Последние легко найти, предположив, что статистика поля гауссова. Это предположение кажется вполне оправданным в случае макроскопического образца, когда поле создают ~1023 молекул, что позволяет применить центральную предельную теорему теории вероятностей. В следующем параграфе будет показано, что гауссовость ТИ следует из однофотонного кинетического уравнения довольно общего вида. Поэтому высшие моменты ТИ гауссовы и, следовательно, определяются через вторые моменты (7). Соответствующая нормально-упорядоченная Х-функция выражается через матрицу вторых моментов следующим образом:
Xon = ехр (— ц • Жсп¦ ц*) = ехр (— ^ • Jf ¦ Л - р*). (14)
Пусть статистика падающего поля также гауссова с независимыми модами, но «смещенная» — с добавкой независимых когерентных составляющих (ак> = Zk:
X = ехр (—ц-Ж-ц* + ц-z* — fi*-z). (15)
Х-функция суммы независимых случайных величин равна произведению их х-функций, поэтому после линейного преобразования (2) а ->¦ U*-a вынужденная часть поля будет снова иметь х-функ-цию вида (15), но с заменой
Ж-> U-JST-U+, z^lrJ-Z = Z'. (16)
Наконец, полное поле согласно (2) является суммой двух независимых многомерных гауссовых величин — вынужденного и спонтанного поля, и поэтому его х-функция равна произведению выражений (14) и (15) с заменой (16) и также соответствует смещенной гауссовой статистике:
%' = ехр [— }i-(U -Ж -U+ +Jf -Я) -fx* + H-U-Z-* + ji*-t7*-s] (17)
(здесь Ж и Jf — диагональные матрицы). Итак, статистика выходного поля при пренебрежении энгармонизмом вещества полностью определяется первыми и вторыми моментами входного поля, температурой образца и его MP (которая также может зависеть от температуры).
В частности, нормально-упорядоченный четвертый момент ТИ (функция корреляции второго порядка по Глауберу [1]) согласно (17) и правилу определения моментов (3.3.36) равен
«а2+а3а4>сп = N13N2i + TV14TV23, (18)
Waiaia2>сп es <:ад:>сп - N1N2 + | TV12 |2, (19)
где N1 = а1а1 и Ж определяется ОЗК (7). С помощью последнего выражения описывается эффект интерференции интенсивностей (§ 4.7). Первое слагаемое в нем отлично от нуля для пар мод<128 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ЛИНЕЙНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ [ГЛ. 4
с любыми частотами и направлением распространения, поэтому оно соответствует «случайному» (или «пуассоновскому») одновременному излучению двух фотонов. Второе слагаемое в (19) имеет заметную величину лишь для достаточно близких в fe-про-странстве мод, принадлежащих одной области когерентности <§§ 4.6, 4.7).
Тепловое поле по теории возмущения. Как следует трактовать формулу (18), полученную нами феноменологически, в терминах элементарных процессов излучения фотонов? Перейдем к представлению Шредингера, в котором меняется вектор состояния I ty, а не операторы (§ 2.2). Молекулы в результате столкновений или взаимодействия с решеткой после спонтанного излучения снова возвращаются в возбужденное состояние j а). Пусть падающее поле находится в вакуумном состоянии | 0>, т. е. начальное состояние системы, которое фигурирует в теории возмущения, будет I Z0) = I 0) П\(?)]. В момент t согласно (2.3.4) и (2.3.18):
\ty = % IZ0), где '
t t h cU=tUJl + (ih)' 1 J (It1^1 + (ih)-* J dt! j dhW1T2 + ...}• (20)
h f'o to
Здесь cUj — энергия взаимодействия поля и молекул в представлении взаимодействия, которая в дипольном, резонансном и двухуровневом приближении имеет вид
M
W = ih S ScjfcOjff+ + э. е., (21)
J=I к
где оператор о = I ЪУ <а j переводит молекулу в основное состояние. Таким образом, волновая функция имеет следующую структуру:
10=(/ + 3 Wflt + S ?jkn-epya+ap + . . .11Z0) (22)
L зк зукк' J
(коэффициенты а, ?, . . . зависят от Z, дипольных моментов, разности частот мод и молекули от фаз k'Vj). Нас интересует двух-фотонное состояние, образуемое двумя операторами рождения:
atat'\Oy = \iyk\l)r=\kk').
Если в (22) j = j', то Oj = I by (а | Ъу<а | ~ Sab = 0, так что
I *> = I *о> + 2 «Л I Ьу} I ку + S' S ?jWk' і ЬУІ І ЬУу I кк'У + . . . (23)
jk )У і к'
(штрих при знаке двойного суммирования означает отсутствие диагональных элементов).§ 4.5]
вывод озк из кинетического уравнения
129
Итак, двухфотонные состояния | к кв модели двухуровневых молекул рождаются лишь двумя разными молекулами *), т. е. это двухчастичный эффект. Усредняя с помощью (23) произведения операторов поля, можно найти явные выражения для моментов <(2 . . ап | Ґ) через микроскопические параметры молекул, которые должны удовлетворять полученным выше феноменологическим формулам Кирхгофа.
Из сравнения (22) с (2) видно, что амплитуды спонтанного поля
В первом порядке теории возмущения равны • MP можно
з
найти из (22) во втором порядке теории возмущения при когерентном начальном состоянии поля.