Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
времени свободных колебаний т. Качественно это легко понять: если убрать
внешнюю силу, то из-за трения энергия колебаний будет экспоненциально
убывать с постоянной времени т [см. уравнение (10)]. Когда же к
осциллятору приложена внешняя сила, частота которой равна собственной
частоте колебаний осциллятора о>0, то амплитуда колебаний будет расти до
108
наступления установившегося режима, когда мощность, отдаваемая
осциллятору, становится равной потерям мощности из-за трения. Так как
большая часть энергии рассеивается из-за силы трения за время т, то можно
считать, что энергия, запасенная осциллятором в установившемся режиме,
равна энергии, отдаваемой внешней силой за время т. Таким образом, мы
ожидаем, что в установившемся режиме запасенная энергия будет примерно
равна входной мощности, умноженной на время т, что в свою очередь равно
мощности сил трения, умноженной на т. (Если частота со не равна со0, то
соотношение между входной мощностью и запасенной энергией будет более
сложным.)
Резонанс. Будем теперь наблюдать за изменением отклика осциллятора на
медленное изменение частоты приложенной силы Пусть частота меняется так
медленно, что в течение интервала вре мени, равного т, ее можно считать
постоянной, и, таким образом, для каждого значения частоты осуществляется
установившийся режим. Усредненное по времени значение входной мощности Р
равно [см. уравнения (21) и (16) ]
Г2т2
P = Pt.-i ------------, (24)
0 (шо2-ш2)2 + Г2ш2 v
где Р0 - значение Р при резонансе, т.е. когда со=со0. Максимального
значения Р достигает при резонансе. Введем понятие о "точках половинной
мощности". Это те значения частоты со, для которых Р равно половине
максимального значения Р0. Покажите, что эти точки определяются
выражением (см. задачу 3.11)
со2 - со2 + Гсо, (25)
что эквивалентно равенству
)Ao20 + i-r2 ±|Г. (26)
[Заметим, что уравнение (25) представляет собой два различных квадратных
уравнения относительно со. Каждое из них имеет одно положительное и одно
отрицательное решение. Оба положительных решения даны формулой (26).]
Интервал частот между двумя точками половинной мощности называется
"шириной" резонансной кривой *) и обозначается (Асо)рез. В соответствии с
уравнением (26) имеем
(Асо)рез = Г. (27)
Мы знаем [см. уравнение (4)1, что затухание свободных колебаний
характеризуется постоянной времени т, равной 1/Г. Таким образом, мы
пришли к очень важному соотношению между шириной резонансной кривой
вынужденных колебаний и постоянной времени затухания свободных колебаний:
со
(А(о)рез Тсво6 1,
(28)
*) Иногда для краткости будем называть эту величину "шириной резонанса".
109
т. е. ширина резонансной кривой вынужденных колебаний равна обратной
'величине постоянной времени затухания свободных колебаний. Это очень
общий результат. Позже мы увидим, что он справедлив и для систем со
многими степенями свободы. В этих случаях резонансы возникают на
частотах, соответствующих нормальным модам свободных колебаний без
затухания, так же как и для одномерного осциллятора. [Резонансная частота
со0 равна частоте свободных колебаний со, только в случае, когда
постоянная затухания Г равна нулю. При затухающих свободных колебаниях
частота смещается от со0 к cot из-за наличия члена ехр(-1IJ't). Для
вынужденных колебаний амплитуда постоянна и резонансной частотой является
частота свободных колебаний при отсутствии трения.] В случае нескольких
степеней свободы ширина резонанса и постоянная времени свободных
колебаний для каждой моды удовлетворяют уравнению (28), если сами
резонансы достаточно удалены друг от друга по частоте и не перекрываются.
Уравнение (28) имеет большое практическое значение. Часто
экспериментально гораздо легче изучить поведение системы вблизи
резонанса, чем наблюдать время затухания. В этом случае, определив Дсо,
по уравнению (28) легко найти т.
Пример 1. Время затухания для картонной трубки. Попытаемся применить
уравнение (28) к системе со многими степенями свободы. Возьмем картонную
трубку, внезапно возбудим ее ударом и предоставим колебаниям свободно
затухать. Удар возбудит главным образом самую низкую моду, для которой
длина трубки равна половине длины волны. Система начнет колебаться. С
концов трубки происходит испускание звуковой энергии, кроме того,
некоторое ее количество теряется из-за "трения" воздуха о стенки трубки
(т. е. звуковая энергия переходит в тепло). Таким образом, мы имеем
затухающие колебания. Спрашивается, какова постоянная времени затухания
этих колебаний? Ваше ухо легко различит преобладающую частоту. Ту же
частоту вы услышите, если постоянно дуть в конец трубки. Однако время
затухания в этой системе слишком мало, чтобы его можно было измерить на
слух. Есть две возможности. Возьмите микрофон, усилитель звуковой частоты
и осциллограф. Включите развертку осциллографа в момент возбуждения
колебаний и выход усилителя подайте на вертикальные пластины. (В хорошем
осциллографе развертка может включаться внешним сигналом.)
