Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Наше "угаданное" значение амплитуды А (со) вдали от со0 совпадает с Лд
(со), что видно из уравнений (48) и (17).
3.3. Резонансы в системе с двумя степенями свободы
В главе 1 было показано, что поведение каждой моды свободно колеблющейся
системы со многими степенями свободы похоже на поведение простого
гармонического осциллятора. Основное различие заключается в том, что
система, а следовательно, и соответствующий "гармонический осциллятор"
занимают определенную область пространства, а не сосредоточены в точке.
Таким образом, в случае многомерной системы каждая мода характеризуется
определенной геометрической формой.
В главе 1, изучая моды свободно колеблющихся систем, мы пренебрегали
трением. Можно предполагать, что с учетом трения каждая мода становится
подобной затухающему одномерному осциллятору. Действительно, каждая мода
имеет свой собственный механизм затухания и, соответственно, свой
собственный коэффициент затухания Г и свою собственную постоянную времени
т. В некоторых системах механизм затухания может быть связан с
определенными "движущимися элементами", и поэтому все моды могут иметь
приблизительно одинаковую постоянную затухания и одинаковые постоянные
времени. Примером такой ситуации является система
117
из двух одинаковых маятников, связанных пружиной, в которой затухание
существует либо для каждой нити подвеса, либо для каждой массы. Так как в
каждой моде движения обоих маятников одинаковы, то обе моды такой системы
будут иметь одинаковую постоянную времени. В других системах механизм
затухания может зависеть от моды. Например, пружина, связывающая два
маятника (см. пример 13, глава 1), может иметь трение, возникающее при
смещении ее витков, что будет создавать затухания для колебаний,
связанных с растяжением или сжатием. Если это единственный механизм
затухания, то мода 2 (мода, при которой пружина сжимается и разжимается)
будет иметь значительно большую постоянную затухания, чем мода 1, когда
длина пружины постоянна, т. е. Г2^>Гь и поэтому T2<^Ti.
Когда система, имеющая несколько мод, находится под действием внешней
силы, то резонанс наступает всякий раз, когда частота внешнего
воздействия становится равной частоте моды. Оказывается, что амплитуда
поглощения и амплитуда дисперсии для данного движущегося элеменгра
являются суперпозицией вкладов амплитуд от каждого резонанса (отвечающего
определенной моде свободной системы). Каждый из этих вкладов имеет форму,
подобную найденной нами в п. 3.2 для системы с одной степенью свободы.
Медленно меняя частоту возмущающего воздействия и измеряя мощность,
поглощаемую данным движущимся элементом, как функцию частоты со, мы
обнаружим резонанс всякий раз, когда со находится вблизи частоты моды.
(Мы будем использовать выражения "резонансная частота" и "частота моды"
как взаимозаменяемые выражения, хотя первое относится к случаю
вынужденных колебаний, а второе - к свободным колебаниям.) Каждому
резонансу соответствует ширина резонансной кривой [см. (28)]
Асо = Г== 1/т.
Здесь А со-полная ширина, соответствующая половине максимального значения
поглощаемой мощности, а Г и т - соответственно постоянная затухания и
постоянная времени для свободных колебаний отдельной моды. Это
соотношение справедливо, если затухание мало и если интервал частот между
отдельными резонансами больше ширины резонанса. В этом случае в области
любого резонанса основной вклад в амплитуду поглощения дает только одна
мода. Однако оказывается, что для амплитуды дисперсии мы не можем
пренебречь вкладом от каждой моды. (См. задачу 3.20).
П р и м е р 2. Вынужденные колебания двух связанных маятников. Наша
система показана на рис. 3.3 и описана в домашнем опыте 3.8 (где гири
маятника - это банки консервов, пружина - это "пружина", внешняя сила
создается резиновым жгутом длиной около 3 м, соединяющим систему с диском
проигрывателя, а затухание вызвано трением струн, на которых подвешены
банки консервов, о какой-нибудь предмет). Для простоты положим, что каж-
118
дый маятник имеет одинаковую постоянную затухания Г. В этом случае
уравнения движения примут вид
М^а = - ^~^а - К (г|5в-г|5ь) -МГфа + ^оСОЭюг, (49) Л% = - + %)
- МТуь. (50)
Мы рассматривали свободные колебания такой системы при отсутствии
затухания и знаем, что если F0 и Г равны нулю, то моды определяются
следующим образом:
мода 2: = - фь, со| = g/l + 2К/М, = 7а (фа-
ф6), (52)
Заметим, что уравнения
(53) и (54) не связаны (независимы). Сравнивая уравнение (1) с
уравнениями (53) и (54), мы видим, что два последних являются уравнениями
гармонического осциллятора с затуханием, находящегося под действием
внешней силы. Таким образом, нормальная координата ведет себя как простой
гармонический осциллятор с массой М, с коэффициентом жесткости пружины
Мы\ и коэффициентом затухания Г, находящийся под внешним воздействием 1/2
,F0cos оit. Нормальная координата фа ведет себя аналогичным образом, имея
соответствующие параметры: М, Ма>\, Г и V* F0cos oit. Эти колебания
