Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
независимы, так что мы можем написать установившиеся решения и ф2
отдельно. Каждая мода ведет себя как одномерный осциллятор, поэтому
каждая мода имеет свои собственные амплитуду поглощения, амплитуду
дисперсии и резонансную частоту, соответствующую частоте моды, точно так
же, как в случае одномерного осциллятора,
мода 1: фа = фь, (r)l = gll,
где гр! и г|)2 - нормальные координаты.
Каждая мода ведет себя i как осциллятор под дейст- aj
Ъ К а
¦ гшгттш*
м м
I
вием внешней силы. Перей-
дем к нормальным коорди- у
натам ify и ф2. Сложив уравнения (49) и (50), получим
М
Рис. 3.3. Вынужденные колебания связанных маятников. а) Равновесие; б)
общий случай.
ни
-УИГф2 y.F0cos (54)
119
Движение каждого элемента является суперпозицией отдельных мод,
совершающих вынужденные колебания. Рассмотрим движение двух элементов au
b нашей системы. В соответствии с уравнениями
(51) и (52) имеем
= + = Ф*- (55)
Из уравнений (55) следует, что амплитуда поглощения для элемента а
представляет собой сумму соответствующих амплитуд обеих мод. Амплитуда
поглощения для элемента b представляет собой разность амплитуд поглощения
двух мод. То же можно сказать и об амплитудах дисперсии для элементов а и
Ь; они соответственно равны сумме и разности амплитуд дисперсии обеих
мод.
Когда частота внешнего воздействия равна частоте одной из мод, элементы а
и Ь движутся так, как если бы их колебания принадлежали этой моде (при
свободных колебаниях).
Рис. 3-4. Резоиаис в системе с двумя степенями свободы.
Графики изображают зависимость от частоты амплитуды поглощения и
амплитуды дисперсии для (а) маятника, непосредственно связанного с
вынуждающей силой, и (б) для маятника, удаленного от точки приложения
вынуждающей силы. Расстояние между резонансными частотами выбрано равным
тридцатикратиому значению полуширины V*F резонансной кривой, одинаковой
для каждой моды.
На рис. 3.4 показаны графики амплитуды поглощения и амплитуды дисперсии
для и %.
Из этого примера видно, что установившаяся амплитуда каждого движущегося
элемента может быть представлена суперпозицией вкладов от каждого
резонанса, т. е. от каждой моды свободно колеблющейся системы. Каждый
вклад (каждая составляющая) в этой суперпозиции соответствует вынужденным
колебаниям осцилля-
120
тора одной из мод. Вклад каждой моды зависит от того, каким образом к
системе приложена внешняя сила. Для случая, показанного на рис. 3.3, мы
нашли, что каждый движущийся элемент получает одинаковый вклад (с
точностью до знака) от каждой моды. Однако, привязав резиновый жгут к
центру пружины, мы не получили бы одинакового вклада от обеих мод. Таким
образом, вклад каждой моды зависит от способа, приложения силы.
Вынужденные колебания системы из многих связанных маятников. Положим, что
вместо двух маятников, мы имеем целую группу таких связанных маятников,
расположенных вдоль прямой. Если к системе приложить внешнюю
гармоническую силу и менять ее частоту так медленно, чтобы все время
существовал установившийся режим, то мы будем наблюдать резонанс всякий
раз, когда частота внешнего воздействия будет равна частоте одной из мод.
(Конечно, внешняя сила может быть приложена таким образом, что некоторые
моды, как было замечено выше, не возбудятся. Тогда на частотах,
соответствующих этим модам, резонанса не будет.) Точно так же, как в
случае системы с двумя степенями свободы, установившаяся амплитуда
каждого движущегося элемента будет суперпозицией вкладов от каждой из мод
системы.
Чтобы проследить изменение резонансных частот и соответственно волновых
чисел, можно построить график дисперсионного соотношения (которое не
зависит от числа степеней свободы и граничных условий) и на графике
отложить точки, соответствующие резонансам рассматриваемой системы.
Дисперсионное соотношение для связанных маятников было показано на рис.
2.18. Рис. 3.5 представляет собой тот же график, на котором показаны две
точки, соответствующие модам, определенным из граничных условий, для
рассмотренной системы из двух маятников.
3.4. Фильтры
Когда на систему действует внешняя сила с частотой со, установившееся
движение любого элемента представляет собой суперпозицию вкладов от всех
резонансов. В частности, возвращающая сила со2, приходящаяся на единицу
смещения и на единицу массы, которая в установившемся режиме имеет общее
значение для всех движущихся элементов, образуется в результате
суперпозиции
Рис. 3.5. Дисперсионное соотношение для связанных маятников.
Две точки соответствуют двум резонансам системы двух связанных маятников.
Резонансы в аналогичных системах из большего числа связанных маятников
будут представлены точками иа той же кривой. Число точек равно числу
резонансов, которое в свою очередь равно числу мод свободных колебаний.
121
различных мод. Рассмотрим качественно, что происходит при изменении со2.
Предположим сначала, что частота ю лежит где-то между минимальным и
максимальным значениями резонансных частот, но достаточно далеко от
