Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
глубин от поверхности до эффективной глубины h-*, так как на таких
глубинах амплитуда относительно велика и, грубо говоря, постоянна. Однако
для глубин, значительно больших *, амплитуда очень мала. Таким образом,
мы предполагаем, что дисперсионное соотношение для волн в глубокой воде
может быть получено из дисперсионного соотношения для волн в мелкой воде
заменой равновесной глубины h на длину * среднего ослабления амплитуды.
Как мы покажем в главе 7, это предположение справедливо. Таким образом,
дисперсионное соотношение для волн в глубокой воде имеет вид >"v= j/git.
2.32. Фурье-анализ симметричных пилообразных импульсов. Под симметричным
пилообразным импульсом мы подразумеваем импульс с одинаковым наклоном
переднего и заднего фронтов. Пусть координата z=0 соответствует вершине
импульса. Покажите, что периодический пилообразный импульс можно
представить рядом Фурье
/(z)= 0,82 А
где kj = литу да на 1/л2
cos kiZ -)-cos 2k^z ¦
cos 3&iг +
2пГкъ а Хг - расстояние между вершинами двух импульсов и А - амп-
импульсов. Амплитуда л-го члена в этом разложении пропорциональ-Теперь
можно оценить, сколь хорошим было приближение в задаче 2.31, где при
выводе дисперсионного соотношения Яу= 1,10j/g/i был принят во внимание
лишь первый член разложения.
2.33. Опыт. Моды поверхностного натяжения. Круговые стоячие волны
поверхностного натяжения легко наблюдать следующим образом. Наполните
бумажную чашку до краев водой и затем добавьте еще чуть-чуть, чтобы вода
слегка поднялась над краями (удерживаясь силой поверхностного натяжения).
Слегка ударьте по чашке. Волны легко проследить, наблюдая за отражением
неба от поверхности воды. Другой способ наблюдения: возьмите
небольшой
яркий источник света, поместите его на расстоянии около метра от
поверхности и наблюдайте за узорами, появляющимися на дне чашки из-за
того, что поверхностные волны действуют как линзы. Чтобы убедиться в том,
что "работает" поверхностное натяжение, добавьте в воду небольшое
количество спирта.
2.34. Граничные условия на свободном конце струны. Рассмотрите четыре
различные системы, показанные на рисунке.
1. Покажите, что все они имеют одинаковую частоту колебаний для
показанных мод.
2. Предположим, что вы хотите применить одну и ту же формулу для выбора
волнового числа в случаях в) и г) и в случае а). Покажите, что L в этой
формуле (напишите ее) должно быть равно 3/2Д.
2.35. Упругая струна длиной L растянута между двумя опорами с равновесным
натяжением Т. Погонная масса струны р, так что вся масса струны равна
M=pL. С помощью удара небольшому сегменту а в центре струны сообщается
поперечная скорость v0, и в струне возбуждаются колебания. Вычислите
амплитуду трех первых гармоник.
Рис. к задаче 2.34.
102
ГЛАВА 3
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
3.1. Введение
В предыдущих главах были рассмотрены свободные колебания. Здесь мы будем
изучать вынужденные колебания различных систем. Это значит, что нас
интересует поведение систем, к которым тем или иным способом приложена
внешняя, зависящая от времени, сила. Без потери общности можно считать,
что на систему действует синусоидальная внешняя сила. Нас интересует
реакция (отклик) системы на это воздействие как функция частоты.
В п. 3.2 будут рассмотрены свободные колебания одномерного затухающего
осциллятора. Затем мы изучим переходную характеристику такого
осциллятора, выведенного из положения равновесия силой, изменяющейся по
гармоническому закону. Мы обнаружим интересное явление "переходных
биений" между внешней силой и переходным процессом свободных колебаний.
Затем мы перейдем к установившимся колебаниям, которые совершает система
после окончания переходного процесса. Мы рассмотрим также резонансную
характеристику осциллятора, находящегося под действием внешней силы при
медленном изменении ее частоты. В п. 3.3 мы будем изучать системы с двумя
степенями свободы и обнаружим, что каждая мода свободных колебаний вносит
свой вклад в вынужденное движение данного движущегося элемента. В
частности, будет выведено очень простое соотношение, которое покажет, что
движение данного элемента является суперпозицией независимых вкладов от
каждой моды.'В п. 3.4 мы обнаружим замечательные свойства системы с
несколькими степенями свободы, находящейся под воздействием внешней силы,
частота которой либо выше, либо ниже частоты самой низкой моды системы. В
п. 3.5 мы обратимся к системе из многих связанных маятников, находящейся
под внешним воздействием, и откроем существование экспоненциальных волн.
Все явления, рассмотренные в этой главе, можно изучить в простых домашних
опытах со связанными маятниками. Для создания
103
внешней силы очень удобен проигрыватель. Банка консервов может служить
грузом маятника, а "пружины" обеспечат связь между маятниками *).
3.2. Вынужденные колебания одномерного гармонического затухающего
осциллятора
Этот вопрос был частично рассмотрен в 7-й главе I тома, где изучались
свободные колебания и установившиеся вынужденные колебания затухающего
