Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Крауфорд Ф. -> "Волны" -> 52

Волны - Крауфорд Ф.

Крауфорд Ф. Волны — М.: Наука, 2007. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): volni2007.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 263 >> Следующая

за исключением разностного множителя (со0-со)2. Выражение для D примет
вид
Dw ((c)о-ю)2(о)0 + а)0)2 + Г2со2 = 4а)02 [К-(r))' + (V* Г)2].
Такое же приближение о>=со0 можно сделать и вчислителях написанных выше
четырех величин. Тогда все они примут одну и ту же форму, которую
обозначим через R\
KW-^-gsffv.r)- (3б)
[Мы выбрали коэффициент пропорциональности таким, чтобы R (со0) = 1. ]
Заметим, что R (со) - четная функция (со0-со), т. е. она симметрична
относительно резонансной частоты. Легко видеть, что полная "ширина" этой
функции на половине максимума R(со) равна Г, так же как и в случае
точного выражения для полной ширины на половине максимального значения
мощности.
В оптике частотная зависимость вида R(со) называется "лорен-цевской
формой линии". В ядерной физике R(со) называется "резонансной кривой
Брейта - Вигнера". В этом случае со0 и со заменяют соответственно на
Ea=fi(o0 и E=fio3. Точные резонансные кривые имеют более сложную форму,
чем R(со), как в оптике, так и в ядерной физике и даже, как мы это только
что видели, для гармонического осциллятора.
Переходный режим вынужденных колебаний. Мы хотим найти общее решение
дифференциального уравнения для затухающего гармонического осциллятора,
находящегося под действием внешней гармонической силы, при заданных
произвольных начальных условиях х (0) и х(0). Общее решение является
суперпозицией частного решения для установившегося состояния xs(t) и
общего решения хг (t) однородного уравнения движения (уравнения свободных
колебаний):
х (t) = xs (t) + хг (t) = А" sin о)t + АЛ cos сat
+ exp (- V2 Tt) [A1 sin (D1t + B1 cos co^]. (37)
Здесь произвольные константы Аг и выбираются такими, чтобы удовлетворить
начальным условиям для смещения и скорости. Уравнение (37) является общим
решением: во-первых, оно удовлетворяет заданному дифференциальному
уравнению и, во-вторых, справедливо для любых начальных условий х (0) и х
(0). В теории дифференциальных уравнений доказывается, что решение,
отвечающее таким требованиям, является единственным,
113
Осциллятор, первоначально находившийся в покое. Рассмотрим, какой вид
примет наше общее решение, если при t=0 осциллятор находится в положении
равновесия. Начальное условие х (0)=0 дает Вi=-АЛ. Теперь найдем Аг из
условия, что начальная скорость х (0) равна нулю. Нас интересует случай
слабого затухания, поэтому будем считать, что множитель ехр (-1/2Г/)
практически не меняется в течение любого данного цикла колебаний.
Используя это приближение, легко показать, что х (0)"соЛп+со1Л1. Так как
нас интересуют частоты возмущающей силы вблизи частоты резонанса, то мы
просто положим Аг=-АП. Тогда
х (0) яз (со-(c)i) Ап. (38)
Это выражение равно нулю либо при (c)=(c)!, либо при Лп=0 (т. е. для Г=0).
Сделав такой выбор констант, мы имеем х (0)=0 и х (0)== =0. Решение (37)
примет вид
х (t) = Ап [sin at-ехр (- У2 ГО sin (c)у] +
+ Лд [cos at - ехр (- уа ГО cos (c)у]. (39)
Ниже рассмотрены некоторые интересные частные случаи.
Случай 1. Частота возмущающей силы равна собственной частоте колебаний.
Положив (c)=(c)! в выражении (39), получим
x(t)- [1 - ехр (- Уа ГО] [Ап sm at -j- Лдсоэ (c)/] =
= [1- ехр(- У2Г0] xs(t), (40)
где xs (t) - решение для установившего режима. Таким образом, когда
частота внешней силы совпадает с частотой собственных колебаний (c)х,
установившееся решение как бы "существует сначала" с амплитудой
колебаний, которая монотонно возрастает от нуля до своего конечного
установившегося значения.
Случай 2. Отсутствие затухания и бесконечные биения. Положив Г=0, получим
Лп=0 и
А Гр/М
д 0)1-00" '
Тогда решение (39) принимает вид
..... Fo icosco/-cos т" t] ...
ХЧ>~М (м^_щ2) ' ГН)
что означает суперпозицию двух гармонических колебаний. С таким явлением
мы встречались при рассмотрении биений от двух камертонов в п. 1.5.
Напомним, что линейную суперпозицию двух гармонических колебаний (41)
можно представить как "почти гармоническое" колебание с "быстрой" средней
частотой (c)Cp=1/2 ((c)"+ +(c)) и медленно меняющейся амплитудой, которая
совершает гармонические колебания с "медленной" частотой модуляции (c)мод=
= 1U ((c)о-(c))• В последнем представлении мы получаем
X (0 = Лмод (/) Sin юср t, (42)
114
где
Р О cin И / ^
(43)
Амплитуда колебаний изменяется.с частотой модуляции V2 (со0-со).
Запасенная энергия Е (!) колеблется относительно среднего положения от
нуля до максимального значения Е0:
Е (t) = E0 sin2 [V2 ((c)о -со) t] =1UEo [1- cos(co0-со)/]. (44)
Таким образом, энергия колеблется с частотой биений, равной разности
между частотой внешней силы и собственной частотой.
Чтобы наблюдать "почти бесконечные" биения, подвесьте банку консервов на
струне длиной около 45 см. Свяжите полученный маятник с помощью
резинового жгута с краем диска проигрывателя, включенного на скорость 45
об!мин.
Для особого случая со=со0 из равенства (43) следует, что амплитуда
быстрых колебаний линейно растет со временем; это соответствует
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed