Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Сфотографировав след на экране осциллографа, вы можете прямо измерить т.
Однако это можно сделать и иначе. Подайте выходное напряжение звукового
генератора на небольшой громкоговоритель, установленный около одного
конца трубки. В трубке возникнут установившиеся вынужденные колебания,
частота которых будет задана звуковым генератором. Установите микрофон у
другого конца трубки и измерьте с его помощью звуковое излучение с этого
конца. Выход микрофона подайте на осциллограф, на экране которого можно
будет измерить амплитуду звуковых колебаний. Теперь измените частоту
генератора и т. д. Экспе-
110
риментально может оказаться проще работать при постоянной частоте
звукового генератора, но менять длину трубки. Нарисуйте зависимость
квадрата амплитуды от величины, обратной длине трубки (почему обратной?).
Найдите точки половинной мощности; они определят Дсо. Используя уравнение
(28), найдите т.
Можно неплохо обойтись и без этих приборов. Возьмите камертон и пять или
шесть одинаковых трубок, отличающихся только длиной. Быстро пронесите
камертон мимо входных отверстий ваших труб и попытайтесь оценить ширину
резонанса. Вы должны найти способ различать интенсивности данного тона,
отличающиеся в два раза. Во всяком случае этим методом можно грубо
оценить порядок Дсо. Для времени затухания колебаний трубки автор получил
таким образом значение, лежащее в пределах 20-50 мсек. (См. домашний опыт
3.27.)
Зависимость амплитуды дисперсии от частоты. Составляющая ЛдСОЭ соt
является той частью решения xs (t) для установившихся колебаний, которая
находится в фазе с возмущающей силой F0zos соt. Как указывалось выше,
дисперсионная составляющая не дает никакого вклада в среднюю величину
поглощаемой энергии. Более того, при резонансе (т. е. когда со=со0) АД
равно нулю. Это не значит, что дисперсионную составляющую смещения можно
не рассматривать. При частотах внешнего возмущающего воздействия, далеких
от резонансной частоты, дисперсионная составляющая преобладает. Это видно
из следующего. Амплитуда дисперсии [см. равенство (17)1 равна
д = Jjl_______сор со2 ."q,
М (о^_ша)а + Г^ ' ( '
Отношение амплитуды дисперсии и амплитуды поглощения следует из формул
(16) и (17):
- = м°~ма СЗО)
АП Гсо '
Для со, меньших со0, это отношение положительно и может оказаться сколь
угодно большим, если со достаточно мало. Для со, больших со0,
отношение AJAn отрицательно и также может быть сколь угод-
но большим. Для обоих случаев Гсо<^с|соа-со2J, и мы можем пренебречь
вкладом члена Ansin соt в xs(t), если мы готовы пренебречь небольшим
значением средней мощности. (Вдали от резонанса поглощаемая мощность
очень мала по сравнению с мощностью, поглощаемой при резонансе.) Таким
образом, вдали от резонанса установившееся решение будет определяться
членом Aacos соt:
/j\ л j. Fr, COS (Of /r\ * \
xs(t) " A"cos at ж-2-r------------------------------(31)
* д M (co20 - CO2) v '
Величина Ад в этой формуле взята из выражения (29), где мы пренебрегли
членом Гасоа в знаменателе. Заметим, что в окончательный результат не
входит коэффициент затухания Г. В частности, легко
111
видеть, что смещение (31) является точным решением уравнения (14) для
установившегося процесса при Г=0 (см. задачу 3.13).
На рис. 3.1 показаны амплитуда поглощения и амплитуда дисперсии в
окрестности резонанса.
Другие "резонансные кривые". Поведение гармонического осциллятора,
находящегося под действием внешней силы, можно описать различными
величинами, которые имеют подобные (но не одинаковые) "формы кривой
резонанса", т. е. зависимости от частоты. Такими величинами являются
амплитуда поглощения Ап,
Рис. 3.1. Резонанс вынужденных колебаний. Если на осциллятор действует
внешняя сила
F0 cos о)t, то в установившемся состоянии х~ (t)=A" siп o>f+./4_cos mt.
Д Jl д
сумма квадратов амплитуд |Л]2=Лд+^п, входная мощность Р (которая равна
рассеиваемой мощности) и запасенная энергия Е. Выпишем все эти величины
для сравнения. Из уравнения (16), (17), (22) и (23) имеем
Ап Н = Ап К) ^ , (32)
|Л(со)|2 = |Л(со0)1= Р(со) = Р(со0)
? (со) = ? (со0)
(о4-ш2)2 + Г2ш2 ' Г2ш"2
(со2 -ш2)2 + Г2шг ' Г2со2
(со2-ш2)2 + Г2ш2' V, Г2 (со2+ со?)
(33)
(34)
(соо - Ш2)2 + Г2Ш2 ' ^
Все эти величины имеют одинаковый "резонансный знаменатель" D, равный
Dh= (cog-со2)2 + Г2со2 = (со0 - со)2 (со0+со)2 + Г2со2.
Около резонанса быстрое изменение D почти полностью вызвано множителем
(со-со0)2 в первом члене этого выражения. Присутст-
112
вие со в другом члене выражения для D, а также в числителях написанных
выше четырех величин играет меньшую роль. Теперь мы видим, что амплитуда
поглощения и другие величины, написанные выше,относительно важны только
"около" резонанса. ("Около" можно довольно условно определить как
интервал со0-10Г< о"< со0 +10 Г.) В этом диапазоне (т. е. около
резонанса) и для случая слабого затухания (т. е. при Г<^со0) мы получим
очень хорошее приближение, положив со равным со0 в выражении для D всюду,
