Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
влиянием гармонической внешней силы, которая действует в течение
значительно большего времени, чем постоянная времени т. В этом случае
переходный процесс, который описывает поведение системы в течение
интервала времени, равного нескольким т после момента приложения внешней
силы, уже закончился, и осциллятор совершает гармонические колебания с
частотой вынуждающей силы со. При этом движении амплитуда колебаний
пропорциональна амплитуде Fu внешней силы, а фазовая постоянная
определенным образом связана с фазовой постоянной внешней силы.
Амплитуда дисперсии и амплитуда поглощения. Вместо того, чтобы описывать
колебания в терминах амплитуды и фазы, мы опишем их с помощью двух
амплитуд A yl В, из которых первая определяет компоненту колебания Лэш
со/, сдвинутую на 90° относительно внешней силы F0 cos a>t, а вторая-
компоненту В cos со/, которая находится в фазе с внешней силой. Таким
образом, решение для установившегося состояния может быть записано в виде
xf (t) = A sin at -(- В cos at. (15)
106
Непосредственной подстановкой можно проверить, что xs (/) удовлетворяет
уравнению (14) только в том случае, если
Постоянная А называется амплитудой поглощения, а постоянная В - упругой
амплитудой. (В также называют амплитудой дисперсии*).) Эти названия
амплитуд объясняются тем, что среднее по времени значение поглощенной
осциллятором мощности определяется членом АП sin со/. Член Лд cos со/
дает определенный вклад в мгновенное значение поглощаемой мощности Р (/),
но в среднем за цикл установившихся колебаний его вклад равен нулю.
Действительно, мгновенная мощность Р (/) равна произведению силы FpCosco/
на скорость х (/). Мгновенная скорость х (/) имеет две составляющие: одна
- в фазе с внешней силой, другая сдвинута на 90°. Вклад в среднее
значение мощности Р дает та составляющая скорости, которая находится в
фазе с силой. Эта составляющая возникает от смещения 4nsin со/, не
находящегося в фазе с внешней силой. Все сказанное можно записать в виде
следующих формул:
Мгновенное значение мощности равно (в установившемся процессе)
Р (/) = F (/) xs (/) = F0 cos со/ [соЛпсоэсо/ - cousin со/]. (18)
Обозначая среднее по времени за один цикл скобками < >, имеем
Таким образом, для среднего за период значения поглощаемой мощности в
установившемся режиме имеем
*) Мы в дальнейшем будем придерживаться этого названия: Лд- амплитуда
дисперсии. (Прим. ред.)
(17)
(16)
F (/) = F0 cos со/,
xs (t) = Ап sin со/ -f- Ад cos со/,
xs (/) = соЛп cos со/ - соЛд sin со/.
Но
Р = А0соЛп <cos2 со/> - F0 соЛд <cos со/ sinco/>.
t0+T
(19)
?0
если Т- период колебаний. Аналогично
<cos со/ sin со/> = ^ <sin 2со/>,= 0.
(20)
Р = Y F°aAn.
(21)
107
Уравнение (21) показывает, что в установившемся режиме среднее за период
значение поглощаемой мощности пропорционально амплитуде Ап той части
полного смещения xs(t), которая сдвинута на 90° относительно внешней
силы. Этот результат не зависит от выбора фазы возмущающей силы, т. е. от
того, положили ли мы силу пропорциональной cos соt или cos (со^+ср).
В установившемся режиме среднее значение поглощаемой мощности равно
среднему значению мощности, рассеиваемой из-за трения. Мгновенное
значение силы трения равно - МГх {t). Мгновенное значение рассеиваемой
мощности равно произведению силы трения на скорость. Нетрудно показать
(сделайте это), что средняя мощность, расходуемая на трение, равна
= МГ <*!> = y МГсо2 [А1 + 4 *], (22)
а это выражение равно среднему значению поглощаемой мощности Р,
определяемой уравнением (21). (См. задачу 3.6.)
В установившемся режиме энергия, запасенная осциллятором, не является
совершенно постоянной, так как мгновенное значение поглощаемой мощности F
(t)xs (t), определяемое уравнением (18), не равно мгновенному значению
мощности MIX (0> рассеиваемой из-за трения. Только при усреднении по
целому циклу поглощенная и рассеянная мощности равны. Нас интересует
средняя величина запасенной энергии. Легко показать, что для
установившихся колебаний средняя величина запасенной энергии, или просто
средняя по времени энергия колебаний, равна
Е = ~ М <*¦> +1 Mcoq <*|> = 1 М (со2 + со2) (1 А1 + ± Л" ). (23)
(См. задачу 3.10.) Заметим, что член с со2 определяет среднее значение
кинетической энергии, а член с coj]- среднее значение потенциальной
энергии. Обе энергии равны только в случае со=со0 (напомним, что для
свободных колебаний с малым затуханием средняя кинетическая и средняя
потенциальная энергии равны). Качественно это можно объяснить следующим
образом. Если со велико по сравнению с со0, то скорость массы М изменит
знак до того, как эта масса успеет сместиться на большое расстояние и
соответственно запасти большую потенциальную энергию. С другой стороны,
если со мало по сравнению с со0, скорость никогда не будет очень большой,
н в этом случае среднее значение потенциальной энергии преобладает,
Заметим, что при со=со0 запасенная энергия Е [уравнение (23)] равна
произведению рассеиваемой в установившемся режиме мощности на постоянную
