Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
97
в моде 2 имеет ту же амплитуду, что и средняя точка между грузами 33 и 34
в первой моде (если, конечно, амплитуды мод одинаковы). Но в моде 2 угол,
который образует струна в месте расположения груза 17 с осью равновесного
положения, в два раза больше соответствующего угла в месте расположения
грузов 33 и 34 в моде 1 (используем приближение малого угла). Таким
образом, возвращающая сила на единицу смещения для грузов 17 во второй
моде в два раза больше, чем для грузов 33 и 34 в первой. Кроме того,
масса груза 17 равна половине массы двух грузов, 33 и 34. Таким образом,
возвращающая сила, приходящаяся на единицу смещения и единицу массы, в
четыре раза больше для груза 17 во второй моде, чем для комбинации грузов
33 и 34 в первой моде. Мы получаем "в непрерывном приближении"
(основанном на "большом числе" грузов), что a>2=2(0i.
Этот вывод не будет справедлив в случае малого числа грузов. Объясните,
почему "гармонические" отношения v2=2vj, v3=3v1 и т.д. возникают в
непрерывном пределе, но не в случае нескольких грузов, показанном,
например, на рис. 2.12.
2.8. За какое время ваш вклад в банке удвоится, если годовой процент
равен 5,9%? (Указание. Рассмотрите равномерно темперированный строй, опыт
2.6.)
2.9. Закончите образование диатонической шкалы для D-мажора, начатое в
опыте 2.6. Было найдено, что нужно добавить новую струну Е, которую мы
назвали Е'. Наша первая "черная нота" была F^. Однако нам понадобится еще
одна "черная нота" - С^. Что можно сказать про G, F, А и В? Можем ли мы
использовать те, которые имеем, или нужно образовывать новые - G', F', А'
и В'?
2.10. Выведите волновое уравнение (55) для неоднородной струны.
2.11. Получите выражение (47) для фурье-коэффициентов функции F(z),
показанной на рис. 2.6.
2.12. Найдите конфигурацию и частоты первых трех мод поперечных колебаний
непрерывной струны с натяжением Т0, плотностью массы р0 и длиной L при
граничных условиях, когда оба конца свободны. (Концы прикреплены к
кольцам, скользящим без трения по стержням.) Покажите, что особенность
самой низкой моды в том, что она имеет бесконечную длину волны и нулевую
частоту. В этой моде струна перемещается так, что скорости всех ее точек
одинаковы. (Эго включает в себя также возможность нахождения струны в
покое при произвольном смещении.)
2.13. Найдите конфигурацию и частоты трех мод поперечных колебаний
однородной струны с грузами, имеющей три груза и четыре сегмента, если
оба конца струны свободны. (Концы струны прикреплены к невесомым кольцам,
скользящим без трения по стержням.) Сравните самую низкую моду с
результатом задачи 2.12.
2.14. Рассмотрите LC-цепочку из трех индуктивностей и четырех емкостей,
соединенных, как показано на рис. 2.16, для АгяаЗ, если две внешние
емкости короткозамкнуты. Найдите три моды, т. е. конфигурацию токов и
частот. Сравните физический смысл, который имеет самая низкая мода в этой
задаче и в задаче 2.13. Сравните граничные условия обеих задач.
2.15. Рассмотрите стальную струну рояля, которая дает С256 (диатонический
строй). Плотность стали близка к 9 г/см3 (это не линейная плотность массы
р0. Почему?). Положим, что диаметр струны У2 мм< а ее длина 100 см. Чему
равно натяжение струны в динах и в к/7
Ответ. Т0(&47 кГ.
2.16. Найдите смещение ф (z, t) для "пружины", растянутой так, чтобы
повторить функцию g (г), определяемую уравнением (48). Нарисуйте ф (г,
/0), когда (0]/0=n/3. Сравните форму ф (z, t0) с формой ф (z, 0),
показанной на рис. 2.7.
2.17. Сравните натяжение стальной струны гитары с натяжением струны такой
же длины, диаметра и тона (самой первой моды), но сделанной из жилы.
Плотность стали около 9 г/см3', плотность жилы чуть больше 1 г/см3. Будет
ли в действительности диаметр стальной струны для гитары равен диаметру
гитарной струны из жилы? Посмотрите на гитары и сравните. Оценив
отношение диаметров, вычислите отношение натяжения струн в этих двух
случаях.
98
2.18. Выведите классическое волновое уравнение (14) следующим способом.
Начните с уравнения (62) и перейдите к непрерывному приближению. Замените
индекс я на координату г, принимая во внимание, что расстояние между
грузами равно а. Воспользуйтесь разложением правой части уравнения (62) в
ряд Тейлора. Рассмотрите случай, когда в разложении имеется на один член
болъиш, чем необходимо для получения классического волнового уравнения.
Определите критерий, по которому можно пренебречь этим членом и членами
более высокого порядка.
2.19. Покажите, что, рассматривая уравнение (71) как решение уравнения
движения для поперечных колебаний струны с грузами (65), можно получить
дисперсионное соотношение (70) независимо от выбора постоянных А, В п k,
определяемых только начальными и граничными условиями.
2.20. Используйте уравнения (73) и (70), чтобы получить отношения частот,
показанные на рис. 2.12 для N= 5.
2.21. Найдите конфигурации и частоты мод для поперечных колебаний струны
с пятью грузами и одним закрепленным и другим свободным концами.
