Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
областей резонанса. В этом случае амплитуда данного движущегося элемента
в основном определяется вкладом амплитуд дисперсии от всех мод. Вклады
различных мод имеют разные знаки в зависимости от того, какой движущийся
элемент мы рассматриваем. [См. уравнения (55). Сравните вклады от моды 2
для фа и грь.] Увеличивая ш2, мы можем приблизиться к резонансной
частоте. При прохождении через резонанс слева направо вклад от амплитуды
дисперсии для данной моды меняет знак. При дальнейшем увеличении частоты
амплитуда колебаний различных движущихся элементов будет более или менее
сложным образом увеличиваться или уменьшаться по мере того, как мы будем
проходить резонансные частоты, соответствующие разным модам. В конце
концов мы пройдем самое большое значение частоты, соответствующее
последней моде. После этого больше не будет происходить изменения знака
вкладов, так как теперь знаки различных амплитуд дисперсии уже не будут
меняться при увеличении частоты. Поэтому движущиеся элементы будут
сохранять в большей или меньшей степени форму самой высокой моды (но не
точно, конечно). Происходит нечто очень интересное. Пусть система
представляет собой вытянутое в линию устройство (например, маятники,
связанные пружинами), а внешняя сила приложена к одному из ее концов и
частота этой силы больше частоты самой высокой моды. В этом случае
движущийся элемент, ближайший к точке приложения силы, имеет самую
большую амплитуду колебаний, соседний с ним - меньшую, следующий - еще
меньшую и т. д. Амплитуда уменьшается с увеличением расстояния от
входного конца системы, к которому приложена сила. В этом случае говорят,
что система представляет собой фильтр.
Пример 3. Два связанных маятника как механический фильтр. Рассмотрим в
качестве примера два связанных маятника (рис. 3.3). Предположим, что на
вход системы (маятника) действуют с частотой большей, чем частота ю2,
которая соответствует моде 2. Маятник а непосредственно связан с внешней
силой, поэтому для этого маятника возвращающая сила в установившемся
режиме имеет некоторый вклад от внешней силы. Однако для маятника b это
уже несправедливо. Его возвращающая сила образуется только натяжением
пружины и силой тяжести, как и в случае свободных колебаний. При
свободных колебаниях наибольшая возмущающая сила на единицу смещения,
которую пружина и сила тяжести могли обеспечить, соответствовала
конфигурации самой высокой моды. В нашем случае это соответствует
маятникам, движущимся в противоположные стороны. Единственный способ для
маятника b иметь то же, что у маятника а, отношение возвращающей силы к
массе и смещению- это иметь меньшее смещение: \В | < | А|. Чем больше ю
по сравнению с (о2, тем меньше должно быть соответствующее
122
Рис. 3.6. Механический фильтр. Частота вынуждающей силы больше частоты
самой высоком моды. Относительные фазы маятников совпадают с фазами этой
моды. Амплитуда "на выходе" (маятник с) меньше амплитуды "на входе"
(маятник а).
смещение маятника Ь по сравнению с а. Иначе говоря, маятник b может
двигаться вместе с а лишь при меньшем смещении.
Аналогичная ситуация возникнет для системы из нескольких связанных
маятников, если частота внешней силы, приложенной к одному концу системы,
превысит частоту самой высокой моды. Конфигурация в установившемся режиме
будет соответствовать высшей моде, т. е. каждый маятник будет двигаться с
фазой, противоположной фазе своих соседей. При этом для каждого маятника
будет обеспечено самое большое значение возвращающей силы, приходящейся
на единицу смещения и на единицу массы. Равенство со2 для всех маятников
приводит к тому, что каждый следующий маятник (от входа) должен иметь
меньшее смещение. Таким образом амплитуда смещения каждого следующего
маятника будет уменьшаться по мере удаления от конца, к которому
приложена внешняя сила.
Срезание высоких частот. Мы рассмотрели пример механического фильтра.
Если на вход системы действует сила F^cosat, то амплитуда движения на
выходе (т. е. амплитуда движения последнего маятника) значительно меньше,
чем на входе, если только а много
больше частоты самой высокой моды. При этом конфигурация системы будет
той же, что у самой высокой моды, за тем исключением, что амплитуда
маятников постепенно убывает к выходному концу системы. Частота,
соответствующая самой высокой моде (свободных колебаний), называется
граничной частотой вынужденных колебаний. Если частота внешней силы на
входе больше граничной частоты, то движение, передаваемое на вход этой
силой, не проходит через фильтр, оно "срезается". На рис. 3.6 показана
система из трех маятников, на которую действуют с частотой, большей
граничной частоты. (Такую систему легко сделать с помощью "пружины" и
трех банок консервов; см. домашний опыт 3.16.)
Срезание низких частот. Посмотрим, что произойдет, если на вход системы
действовать с частотой меньшей, чем самая малая собственная частота (т.
е. частота, соответствующая первой моде свободных колебаний). Покажем,
