Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
осциллятора. (Эффект затухания иногда называют демпфированием, а сам
осциллятор - демпфированным.) Мы рассмотрим также переходный процесс у
гармонического осциллятора, первоначально находящегося в покое и
подверженного действию гармонической внешней силы.
Рассмотрим точечную массу М, совершающую колебания в направлении х. Ее
смещение от положения равновесия обозначим х (/). На массу действует
возвращающая сила- Мсо" x(t), вызываемая пружиной с коэффициентом
жесткости /С=Мо)". Если на массу М никакие другие силы не действуют, то
она будет совершать гармонические колебания с угловой частотой со0.
Предположим, однако, что на массу действует еще сила трения,
пропорциональная- MYx{t), где Г - коэффициент, который мы назовем
коэффициентом затухания, приходящиеся на единицу массы, или просто
коэффициентом затухания. Кроме силы трения на массу действует внешняя
сила F(t). В этом случае второй закон Ньютона для массы М имеет вид
неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка:
Мх (t) = - М(о2ах (t) - МГх (t) + F(t). (1)
Начнем с более простого случая, когда внешняя сила отсутствует.
Затухание свободных колебаний. Уравнение (1) можно переписать в виде
х(П + Гх(^)-(-сй^х(^)=0. (2)
Будем искать решение хх (f) в виде
x1(^) = e_,/"//Tcos(<B1/-(-0), (3)
где т, со! и 0 неизвестны. Прямой подстановкой мы находим, что
(3) является решением уравнения (2) для любого значения фазовой константы
0 при условии, что
Т = Г (4)
и
_________________ йНй*-1г". (5)
*) Почти во всех опытах "пружины" можно заменить резиновыми жгутами,
слабыми пружинами или придумать другой способ связи, (Прим.. ред.)
104
Наиболее общее решение уравнения (2) представляет собой суперпозицию двух
линейно независимых решений с двумя произвольными константами, которые
могут быть определены из начальных условий для смещения и скорости: (0)
и (0). Два ли-
нейно независимых решения можно получить, взяв два значения 0, например,
первое 0=0 и второе 0=-я/2. Таким образом, общее решение может быть
записано в виде
xi (t) =e-'^vt (Ах sin cos coLt). (6)
Константы А,, и В1 определяются из равенств В1=х1 (0) и о>г^4г = =хх
(0)+1/аГл:1 (0), и уравнение (6) принимает вид
*1 (0 = е~ч'п { *1 (0) cos сок + [^(0) + j IX (0)] ^|. (7)
Когда Г мало по сравнению с со0, колебания являются слабо затухающими.
При Var, равном со0, говорят, что движение происходит с критическим
затуханием. Из уравнения (5) следует, что в этом случае частота "ц равна
нулю, и в решении (7) мы заменяем
cos осп/ на 1 и -- sin со1/ на /, так как предел ПРИ
о)1( стремящемся к нулю, равен t.
Когда х/аГ больше со0, говорят о сильном затухании осциллятора. В этом
случае формула (5) дает отрицательное значение о)(r). Это значит, что СЩ
равно
co^if'KI, 1x1= |/'-|га - (c)*, (8)
где i-Y-И Решение (7).остается справедливым и для этого случая. Оно может
быть записано (задача 3.25) в виде
*1 (0 = (0) ch КI * + [х, (0) +1 Тх, (0)] • (9)
Мы ограничимся случаем слабого затухания, когда 1/,Г меньше со0. Если
затухание очень слабо, т. е. 1/аГ<^о)0, то экспоненциальный множитель ехр
(-1/аГ/) можно считать постоянным в течение одного цикла колебаний. В
этом случае скорость, с довольно хорошим приближением, будет равна
производной выражения (6) по времени, причем множитель ехр (-1/аГ/) можно
считать постоянным. Легко показать, что при этом энергия (кинетическая
плюс потенциальная) почти постоянна в течение одного цикла колебаний, но
уменьшается по экспоненте за интервал времени, включающий в себя много
циклов:
?(0=уМх?(/) + уМсо?х?(0 = ^-г' = ^-'/т. (Ю)
где
= ((c)? + (c),*) + .
(11)
105
Рассмотрим теперь осциллятор со слабым затуханием, на который действует
внешняя сила F (/), не равная нулю.
Установившиеся колебания под действием гармонической внешней силы. Очень
большой класс функций F (t) можно разложить в ряд Фурье по различным
частотам со:
F (0 = 2/И cos И + фИ]. (12)
Например, в п. 2.3 мы показали, что любая "разумная" периодическая
функция F (/) допускает такое разложение. В главе б мы узнаем, что многие
непериодические функции также можно представить в виде рядов или
интегралов Фурье. Рассмотрим отдельную составляющую ряда Фурье для такой
силы:
F (/) = F0 cos at. (13)
Здесь нулевой момент времени выбран так, чтобы сделать фазовую константу
равной нулю. Если мы будем знать, как найти х (/) для такой гармонической
внешней силы, мы легко найдем х (/) для суперпозиции подобных сил,
выраженной формулой (12). Действительно, в п. 1.3 было сказано, что для
неоднородного линейного уравнения справедлив принцип суперпозиции. Он
заключается в том, что решение, соответствующее суперпозиции различных
внешних сил, представляет собой суперпозицию отдельных решений. Поэтому
мы начнем с неоднородного уравнения с внешней силой в виде одной
компоненты ряда Фурье:
Мх (t) + МТх (/) + Miх (t) = F0 cos сot. (14)
Мы хотим найти решение уравнения (14) для установившегося состояния.
Установившееся состояние - это движение, совершаемое осциллятором под
