Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Крауфорд Ф. -> "Волны" -> 45

Волны - Крауфорд Ф.

Крауфорд Ф. Волны — М.: Наука, 2007. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): volni2007.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 263 >> Следующая

Постройте пять соответствующих точек дисперсионного соотношения a>(k)
подобно тому, как это сделано на рис. 2.13.
2.22. Рассмотрев рис. 2.13, а также схему самой системы, покажите, каким
образом можно добавить шесть точек к графику рис. 2.13, чтобы этот график
определял моды для струны с 11 грузами, закрепленной на концах.
2.23. Покажите, что уравнения (73) и (74) дают те же результаты для
частот при N= 1 и N= 2, которые мы получили в пп. 1.2 и 1.4.
2.24. Нарисуйте пять мод струны с пятью грузами, соответствующих
уравнениям (78) - (80).
2.25. Постройте график дисперсионного соотношения для системы, показанной
на рис. 2.16.
2.26. Покажите, что для системы связанных маятников, показанных на рис.
2.17, уравнение движения для я-го маятника (в приближении малых
колебаний) имеет вид
JLyn+JLf Фп+i-Ф/Л__________!Lf L'tn-
dt2 1 " 1 М ( a J М
Покажите, что общее решение для моды без учета граничных условий имеет
вид (t) = cos (Ш -\- ф) [ A sin nka + В cos nka].
Покажите, что дисперсионное соотношение имеет вид
, g , 4К . , ka
"* = Т + -ЛГЯП Т-
Покажите, что для граничных условий рис. 2.17 (т. е. когда крайние
пружины не закреплены) приведенное выше решение имеет вид
(t) = cos (ш/ + <р) В cos nka,
когда я-й маятник расположен в точке 2= (я-V2) а- Покажите, что для
первой моды k=0. Нарисуйте ее. Как будет вести себя система в такой
конфигурации при постепенном уменьшении до нуля силы тяжести? Постройте
конфигурацию трех мод для N= 3 и определите частоты.
2.27. Найдите систему из связанных емкостей и индуктивностей, которая
была бы аналогом системы из связанных маятников рис. 2.17 в том смысле,
что уравнение движения для тока в я-й индуктивности имело бы тот же вид,
что уравнение движения для я-го маятника в задаче 2.26. Найдите
дисперсионное соотношение.
2.28. Перейдите к непрерывному пределу в задаче со связанными маятниками
(задача 2.26). Покажите, что в этом случае система описывается волновым
уравнением
<?2ф_ 3 2<52ф
2.29. Докажите каждое из следующих утверждений двумя способами: а)
"физическим" способом, основанным на использовании понятия нормальных мод
4*
99
непрерывной струны с соответствующими граничными условиями, и б) способом
фурье-анализа периодической функции от г:
1. Любая (разумная) функция /(г), определенная между г=0 и z=L и имеющая
нулевое значение в г=0 и нулевой наклон в г=/., может быть разложена в
ряд Фурье вида
f (г) = 2 s'n n^iz' л =1,3, 5, 7, kxL = n/2.
п
(Замечание. Начните с построения из /(г) периодической функции, чтобы
можно было использовать формулы фурье-анализа.)
2. Любая "разумная" функция /(г), определенная между г= 0 и z=L и имеющая
нулевой наклон в г=0 и z=L, может быть представлена рядом Фурье вида
/ (г) = В0 -f 2 вп cos nk\Z\ п= 1,2,3, 4, ...; &,Z. = n.
п
3. Любая (разумная) функция /(г), определенная между г= 0 и z=L и имеющая
нулевой наклон в г=0 и нулевое значение в z=L, может быть разложена в ряд
Фурье вида
f (г) = 2 Вп cos nkxz\ п= 1,3, 5, 7, ...; kxL - n/2.
п
2.30. Фурье-анализ периодически повторяющегося прямоугольного импульса.
Если периодически ухлопать в ладоши, то звуковое давление воздуха на ухо
может быть описано как периодически повторяющийся прямоугольный импульс.
Пусть функция /•'(f) соответствует звуковому давлению. Положим, что F(t)
равно +одной единице давления для короткого интервала А/ и нулю до и
после интервала М. Этот "прямоугольный импульс" единичной высоты и
шириной Д/ периодически повторяется с периодом Тх. Короткий интервал Д/
определяет длительность звучания хлопка. Период Тх - это время между
двумя последовательными хлопками. Частота v1=7Y1 является частотой
хлопания. Выполните фурье-ана-лиз заданной таким образом функции F(t).
а) Покажите, что начало отсчета времени можно выбрать таким, что в
разложении будут только косинусы аргумента maxt, т. е.
СО
F (/) = В0 + 2 вп cos пшх t. п= 1
б) Покажите, что В0=д//Г1. Покажите, что
2
Вп= - sin (ntiV]A/) для л=1,2, ...
в) Покажите, что для Д/<^Тх "основной" той vx и первые гармоники 2vlf
3vj, 4vj и т. д. имеют практически одно и то же значение амплитуды Вп.
г) Постройте график зависимости Вп mnv1, переходя постепенной достаточно
большим п, так чтобы коэффициенты Вп прошли через нуль два или три раза.
д) Покажите [по результатам пункта г)], что "наиболее важные" частоты (т.
е. частоты, для которых Вп имеет достаточно большие значения) занимают
полосу от основной частоты до частоты порядка 1/Д/. Обозначим частоту
1/Д/через Vmax- Конечно, на самом деле в разложении нет максимальной
частоты, так как ряды Фурье простираются до л=оо. Однако наиболее важные
частоты лежат между нулем и vmax. Этот "частотный диапазон" занимает
"полосу", равную по величине примерно vmax= 1/Дг. Вот частоты, имеющие
наибольшее значение:
v = 0, vlt 2vt, 3vx, 4vj, .... ттах=1/Д/.
Соответствующий частотный диапазон 0<v<vmaxобозначим через Av. Тогда наш
результат может быть записан в виде следующего соотношения:
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed