Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда мы видим, что можно связать данную динамическую проблему с дискретным преобразованием Т замкнутой (п — 1)-мерной поверхности в себя. Свойства движения в этом случае отражаются в свойствах преобразования Т. Например, периодичность движения, изображаемого в многообразии состояний движения замкнутой кривой, пересекающей S в точках Р, Pi, ... , Pfc-i, отражается в символических равенствах:
Рг = Т(Р), Р2 =Т(Р1), ... , Р = Т(Р,_1),
означающих, что Р, Pi, ... , Pk-i все суть инвариантные точки по отношению к k-й степени преобразования Т. Обратно, если Р инвариантно по отношению к Tfe, то через Р проходит соответствующее периодическое движение, пересекающее S в точках Р, Г(Р), .. • , Тк~1(Р).
Секущая поверхность в вышеприведенном смысле будет существовать только в том случае, если в многообразии состояний движения существует угловая координата </?, определенная таким образом, что
152
Глава 5
она постоянно возрастает вдоль всякой линии потока. В необходимости этого условия можно убедиться путем следующего рассуждения. Если секущая поверхность S существует, то определим <р как равную нулю
полный интервал времени, необходимый для того, чтобы пройти от S до S вдоль той линии потока, на которой Р лежит. Очевидно, что <р — аналитическая функция(14) положения точки, увеличивающаяся ровно на 27г между двумя пересечениями линии потока с S. Следовательно, угловая координата существует. Обратно, если такая координата существует, то уравнение ip = 0 даст секущую поверхность.
Необходимым и достаточным условием существования замкнутой секущей поверхности является существование переменного угла ip в многообразии состояний движения, постоянно возрастающего вдоль всякой линии потока.
Точнее говоря, должно иметь место дифференциальное неравенство
a Xi, ... , Хп обозначают, как обычно, правые части дифференциальных уравнений.
В некоторых динамических проблемах мы встречаемся с крайне интересным типом секущих поверхностей, имеющих границы. Границы эти суть замкнутые аналитические (п — 2)-мерные поверхности, состоящие из линий потока, и всякая линия потока, не лежащая на границе *5, пересекает S по крайней мере однажды в течение каждого достаточно большого интервала времени т и притом всегда в одном направлении.
В случае, когда п равно 3, секущая поверхность — двумерная, и границами ее поэтому будут замкнутые кривые, соответствующие отдельным периодическим движениям. Но как раз в случае гамильтоновой или пфаффовой динамической проблемы с двумя степенями свободы применение интеграла энергии понижает порядок системы до п = 3. Для таких проблем, по-видимому, вообще существует секущая поверхность, что будет видно в следующей главе1. Пример, приведенный в
на этой поверхности и равную —— в любой другой точке Р, где т
з=1
где Ф* удовлетворяют условию интегрируемости
1См. мою цитированную статью (§22-29).
Существование периодических движений
153
следующем параграфе, показывает возможность подобной секущей поверхности и для случая числа степеней свободы, большего двух. Однако в этом случае нам приходится иметь дело с (п — 2)-мерными аналитическими замкнутыми поверхностями, состоящими из линий потока, а такие поверхности, вообще говоря, по-видимому, не существуют.
Весьма большой интерес представляет также случай открытой аналитической секущей поверхности вроде той, которую Купмен1 получил во внешнем случае ограниченной проблемы трех тел.
Во всех этих трех случаях очевидно, что посредством приведения динамической задачи к проблеме преобразования определение периодического движения может быть сведено к задаче разыскания инвариантных точек на секущей поверхности S при преобразовании Т и его степеней.
§ 11. Пример ограниченной секущей поверхности. Следующая динамическая проблема дает пример, показывающий, что подобные секущие поверхности могут существовать для гамильтоновых проблем с более чем двумя степенями свободы: частица Р в консервативном поле сил в пространстве движется таким образом, что сила всегда имеет положительную составляющую, направленную к некоторой определенной плоскости для точек, лежащих вне этой плоскости.
В этом случае уравнения движения образуют систему шестого порядка, а именно:
где ж, 2/, z — прямоугольные координаты точки Р в пространстве и где за фиксированную плоскость мы можем принять плоскость z = 0. Значит, dU/dz имеет одинаковый знак с z, так что
где Л — положительная аналитическая функция координат ж, у, z(15). Интеграл энергии можно представить в виде:
dx
dt
dxf
dt
dU W = _dU dz/_ _ _dU_
dx ’ dt dy' dt dz ’
I (ж'2 + j,* + *«) + U = 0
1B. O. Koopman, «On Rejection to Infinity and Exterior Motion in the Restricted Problem of Three Bodies», Trans. Amer. Math. Soc., vol. 29, 1927.
154
Глава 5
при условии, что мы включим в U произвольную постоянную. Таким образом мы сосредоточим внимание на совокупности движений, удовлетворяющих этому последнему условию, понизив этим способом порядок системы с шестого на пятый. Мы будем рассматривать только тот случай, когда поверхность U = 0 представляет собой замкнутую односвязную поверхность в пространстве, пересекающую плоскость z = О по овалу, причем U < 0 внутри поверхности. Частица в этом случае обязательно должна лежать в области U ^ 0.
