Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
хСм. мою упомянутую статью (§10-13).
142
Глава 5
отвечает замкнутой геодезической линии. Очевидно, что невозможно деформировать все соседние с /* кривые, имеющие меньшую длину, друг в друга, не переходя через кривые большей или равной длины; иначе /* не отвечала бы нашему определению. Это свойство характерно для всех кривых типа минимакса.
Вышеприведенное изложение интуитивно. Можно, однако, этот метод изложить вполне строго1.
В более общем случае мы приходим к следующему заключению.
Лагранжева проблема, подчиненная прежним условиям (см. § 3) и имеющая к > 1 периодических движений минимального типа? эквивалентных замкнутой кривой 17 будет непременно обладать еще по крайней мере к — 1 периодическими движениями минимаксного типа? эквивалентными той же кривой.
Если мы исключим из рассмотрения все особые случаи и ограничимся интуитивным способом рассуждения, то мы можем следующим образом сделать это более общее положение вероятным. Пусть Д, ... , Ik будут значения интеграла I вдоль к периодических движений минимального типа, существование которых мы предполагаем, и пусть I* будет настолько большим числом, что мы можем непрерывной деформацией кривой I перейти от какой-нибудь из соответствующих кривых /i, ... , Ik к любой другой так, чтобы интеграл I на I все время оставался бы меньше J*. Для определенности предположим, что Д, ... , Ik расположены в порядке возрастания их величины.
Пусть и будет переменный параметр и рассмотрим замкнутые кривые I данного типа, для которых I < и. Пока и < Д (абсолютный минимум), таких кривых не будет совсем, но если и будет увеличиваться, становясь больше Д, то появляются кривые, сначала мало отличающиеся от /i. Но чем больше становится и, тем большие отклонения от кривой li делаются возможными для /. Точно так же, когда и становится больше Д, появляется новая изолированная совокупность кривых I в окрестности кривой /2- И, в конце концов, когда и делается больше Д, появляется последняя к-я совокупность кривых в окрестности кривой Ik.
Но, с другой стороны, при возрастании и какие-нибудь две из имеющихся совокупностей кривых могут соединиться в одну, т. е. может стать возможным деформировать кривую 1а в кривую 1р так, чтобы интеграл I вдоль кривой I все время оставался меньше и. Следовательно, будем иметь наименьшее значение и, для которого это возможно, и соответствующее периодическое движение типа минимакса. Каждый раз, когда происходит такое соединение, число изолированных совокупностей кривых /, имеющих I < и, уменьшается на единицу.
¦'^См. мою упомянутую статью (§15 19), где метод минимакса развивается для случая двух степеней свободы.
Существование периодических движений
143
Но когда и = /*, то существует только одна такая совокупность, так что имеет место k — 1 соединение. Следовательно, существует к — 1 минимаксных периодических движений, что и требовалось доказать.
Нетрудно показать, что, за исключением того случая, когда периодическое движение типа минимакса кратное(9), только две совокупности кривых могут совпасть для одного из этих критических значений и.
Если характеристическая поверхность допускает дискретные преобразования в себя, то возникает исключительный случай, при котором периодические движения минимального типа должны считаться каждое больше чем один раз. Таков именно вышеупомянутый случай геодезических линий на торе.
Отметим, что когда мы рассматриваем какую-нибудь замкнутую кривую I как описанную к раз (к > 1), движения минимального типа остаются теми же, тогда как движения типа минимакса, связанные с ними, не будут теми же, что при к = 1, а будут отличны от них.
Общее положение требует дальнейшего изучения.
§ 7. Приложение к исключительному случаю. Случай га-мер-ной лагранжевой системы, имеющей характеристическую поверхность, которая может быть одно-однозначно и аналитически отображена на гиперсферу, представляет исключительный интерес, но как раз к этому случаю намеченный здесь метод минимакса не приложим, так как на таком многообразии не существует замкнутых кривых /, не сводимых в точку. Тем не менее и в этом случае можно установить существование периодических движений типа минимакса.
Для того, чтобы сделать рассуждение насколько возможно конкретным, мы остановим свое внимание на случае обратимой геодезической проблемы, хотя будет очевидно, что то же рассуждение можно применить к любой лагранжевой проблеме рассматриваемого типа, имеющей характеристическую поверхность, гомеоморфную гиперсфере.
Нашим первым шагом будет определить, что называется «покрытием» поверхности. Рассматривая сначала случай двумерной поверхности, предположим, что поверхность сферы приведена в одно-однозначное аналитическое соответствие с данной поверхностью. Малые круги на сфере, лежащие в плоскостях, перпендикулярных какой-нибудь оси, очевидно переходят при этом в систему замкнутых аналитических кривых (две из которых состоят из одной точки), покрывающих данную поверхность. Точки покрытия могут быть определены двумя угловыми координатами $, (р на нашей поверхности, где (р и $ означают соответственно долготу и дополнение до ^ широты соответственной точки
