Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
сферы относительно данной оси. Построенные нами кривые соответствуют $ = const, в то время как (р изменяется от 0 до 27г. Коорди-
144
Глава 5
ната $ может изменяться только от 0 до 7г, причем обоим крайним значениям $ соответствуют кривые, состоящие из одной точки.
Теперь представим себе, что это покрытие непрерывно деформируется. Этим мы хотим сказать, что все точки, непрерывно изменяясь, переходят в близкие точки, причем кривые покрытия переходят в новые кривые. Очевидно, что такое покрытие будет всегда действительно покрывать каждую точку по крайней мере однажды и не может свестись к точке1 (10).
Подобным же образом в случае ш-мерного многообразия мы строим систему малых кругов на гиперсфере
Х1 + ¦ ¦ ¦ + хт+1 = 1
[xiy ... , xm+i — прямоугольные координаты в (га + 1)-мерном пространстве], определяемых уравнениями:
(0) (0)
Жз = 4 ,••• 1Хт+1 = Х)п+П
т2 , r2 _ 1 _ т(0)2______(0)2
— -1 Л'З Хт+1.
В этом случае состоящие из одной точки окружности находятся в однооднозначном соответствии с (га — 2)-мерной гиперсферой.
Изображение этой системы кругов дает аналитическое покрытие нашей характеристической поверхности М.
Точки покрытия могут быть определены надлежащими координатами, и мы можем так же, как для двумерной поверхности, непрерывно деформировать это покрытие. Очевидно, что такое покрытие всегда будет покрывать каждую точку поверхности М по крайней мере один раз(п).
Далее, длины изображений кругов в этом покрытии имеют верхнюю границу L*. Мы можем также найти такое d, что две любые точки М, геодезическое расстояние которых в М меньше, чем d, могут быть соединены единственной минимальной геодезической линией длины 5 < d. Пусть п будет такое целое положительное число, что
L*
п ^ ^ п - 1 •
На изображении какого-нибудь круга возьмем точку Рь для которой (р = 0, и разделим всю кривую на п дуг:
PlP2, Р2Р31 ••• j PnPl,
1 Схема доказательства этого положения приведена в подстрочном примечании на стр. 246 моей уже цитированной статьи, и это доказательство легко распространяется на случай m-мерной гиперсферы.
Существование периодических движений
145
равной длины, меньшей d. Проделаем это со всеми кругами. Пусть теперь на каждом круге точка Qi движется от Pi к P^+i {Pn+i — Pi) таким образом, чтобы в каждый данный момент все дуги (Р*Рг+1) делились точками Qi пропорционально, и рассмотрим дугу, состоящую из кратчайшей геодезической дуги PiQi и из дуги QiPi+i нашей кривой. Нетрудно видеть, что мы получаем таким образом непрерывную деформацию нашего покрытия. Но в начале деформации все дуги Р{Р{+\ были дугами наших кривых, а в конце они стали геодезическими дугами PiPi+1.
Таким образом, мы видим, что наше покрытие данными изображениями кругов можно непрерывно деформировать в покрытие замкнутыми кривыми Pi . ..PnPi, состоящими каждая из п геодезических дуг (Р1Р2, • • • ? PnPi)- Кроме того, очевидно, что максимум длины кривой этого нового покрытия не может превзойти L*, а максимум длины геодезических дуг, составляющих эти кривые, меньше d.
Это преобразование составляет первый шаг к последовательности непрерывных изменений данного покрытия. Вторым шагом будет разделение всех кривых нового покрытия на п равных частей, начиная с середины дуги Р\Р2- Таким образом, мы получаем дуги Q1Q2? • • • ? QnQ 1 и переходим к третьему покрытию, а именно, к покрытию кривыми, состоящими из геодезических дуг Q1Q2, ••• , QnQ 1? каждая из которых имеет длину меньше d, причем замкнутые кривые нового покрытия не будут по длине превосходить L*. Эта деформация может быть произведена таким же образом, как первая.
Начатый таким образом процесс последовательного деления кривых покрытия на п частей и деформации покрытия может быть продолжен до бесконечности. В каждой данной стадии его отдельные геодезические дуги, из которых состоят кривые покрытия, имеют длину меньше, чем d, а длины самих кривых покрытия не превосходят L*. Кроме того, результатом каждого шага будет уменьшение (или по крайней мере не увеличение) длины кривой.
Может случиться, что некоторые из промежуточных кривых обратятся в точки при этих преобразованиях, но это ни в какой мере не повлияет на наши рассуждения. Однако невозможно, чтобы максимальная длина кривых покрытия сделалась меньше d. Это легко видеть. В самом деле, в противном случае мы могли бы все кривые соответствующего покрытия деформировать в точки следующим образом: пусть каждая точка Q кривой Pi... PnPi сдвигается к Pi по единственной кратчайшей геодезической дуге, соединяющей ее с Pi, и притом так, что все точки всех кривых одновременно проходят пропорциональные расстояния. Таким образом, m-мерное покрытие делается самое боль-
146
Глава 5
шее (га — 1)-мерным и не может проходить через все точки М, что противоречит сказанному выше.
В связи с этим последним рассуждением нужно заметить, что в каждой стадии производимых нами преобразований совокупность точек Pi является аналитическим (га — 1)-мерным многообразием, и потому не возникает никаких трудных теоретико-множественных вопросов, связанных с размерностью.
