Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Посредством надлежащего предварительного преобразования переменных, подобного тому, которое мы делали в § 7 главы III, мы можем при с = 0 привести Н к нормальному виду:
Н — - ^2 ^з'Рз^з + Н--------,
3 = 1
если Ai, ... , Хт различны.
Но общее решение данной системы может быть написано в виде
Pi = PiiPl, • • • , Ят, c); Яг = QiiPl, ¦ ¦ ¦ , Яш, t, с)
(для i = 1, ... , га), где p°, ... , q^ обозначают значения соответственно рь ... , qm при t = 0.
Условие периодичности в этом случае выражается системой 2га уравнений:
PiiPi, ¦¦¦ ,Ят, 27Г, с) = Pi, qi(Pi, ¦ ¦ ¦ , q°m, 2тг, с) = g? (г = 1, ... , т).
В эти формулы, как мы видели в главе I (§5), все переменные входят аналитически. Но для с = 0 эта система уравнений по предположению имеет решение
Pi =¦•• = <& = 0.
Следовательно, будет существовать единственное решение р?,... аналитическое относительно с, при условии, что функциональный определитель
dpi _ 1 дрЧ dpi dpi
dpi d&
dqm dqm dqm
др\ dpi dq°m
Существование периодических движений
149
не обращается в нуль при t = 27т, с = 0. Но 2т функций
dpi ддт
др°{
(г = 1, ... , т) образуют решение уравнений вариации, так же как и функции
dpi д%п
(г = 1, ... , га). Все эти функции, кроме того, обращаются в нуль при t = 0, кроме dpi/dp® и dqi/dqi, которые равны 1 для г = 1, ... , т.
Известный нам уже вид квадратичных членов Н при с — 0 дает уравнения вариации:
d]Ji _ dZi _ , /. _ i ч
— AiVi, — —\{Zi (г — 1, ... , ш).
где yi, соответствуют Следовательно, вышеприведенные реше-
ния имеют следующий вид:
eAl‘, 0, ..., 0,
0, еА^, ..., 0,
0, 0, ..., е-Ат<,
где единственными отличными от нуля элементами будут те, которые лежат на главной диагонали, а именно:
g Xit ^
Следовательно, выписанный выше определитель равен:
т
Д(е2,гА< - l)(e~2*Xi - 1) i — 1
и отличен от нуля, если только какой-нибудь из множителей А* не будет целым кратным у/^1.
Таким образом, при этих условиях мы имеем аналитическое семейство решений
Pi(t, с), ... , qm(t, с),
периодических с периодом 2п относительно ?, что и требовалось доказать.
150
Глава 5
Ограничения, наложенные нами на динамическую систему при этом доказательстве, могут быть значительно смягчены. Прежде всего подобный нормальный вид решения существует и в том случае, когда не все множители Ai, ... , Хт различны. Пусть, например, Ai = А2, в то время как А^, ... , Хт отличны друг от друга и от Ai. Вообще говоря, первое и второе решения уравнений вариации имеют теперь вид:
0, eAlt, 0, ... , 0,
eAlt, teXlt, 0, 0.
Также (ш + 1)-е и (ш + 2)-е решения имеют вид:
0, e“Alt, 0, , 0,
e~Alt, te~Xlt, 0, ..., 0
соответственно. Если переставим первый и второй ряд, а также
(га + 1)-й и (га + 2)-й ряд, то получим определитель, все элементы которого ниже диагонали обращаются в нуль, а все элементы главной
диагонали и, следовательно, он сам не равны нулю, если только среди
множителей А* нет ни одного, который был целым кратным Т(13)-Но такой множитель указывал бы ни более, ни менее, как на существование периодического решения уравнений вариации с тем же периодом 27г, что и данное движение. Будем называть точку обобщенного равновесия «простой», если для нее не существует решения уравнений вариации с тем же периодом, что у самой точки обобщенного равновесия, и «кратной», если такое решение существует.
Аналитическое продолжение обобщенного равновесия всегда возможноу пока равновесие остается простым.
Заменой переменных
Pi =Pi(t, с) + Pi, qi = Qi{t, с) + Qi (г = 1, ... , га) мы получаем новые уравнения Гамильтона: dPi _ дН* dQi _ дН*
dt dQi ’ dt dPi где
m
Я* = Я + - q'jPj)
3=1
i = 1, ... , га),
Существование периодических движений
151
Они принадлежат к тому же типу, что прежние, но имеют точку обобщенного равновесия в начале координат при всех малых значениях параметра с. Решение в формальных рядах такой системы дифференциальных уравнений, разумеется, содержит параметр с. Именно такого рода формальные ряды оказываются часто полезными в приложениях; при этом равенство нулю параметров, аналогичных с, может соответствовать специальному интегрируемому случаю динамической проблемы, когда периодическое движение, из которого мы исходим, может быть выражено в явном виде.
§ 10. Метод преобразования Пуанкаре. Иногда динамической проблеме может быть придана другая, совершенно новая форма. Решения п дифференциальных уравнений первого порядка с правыми частями, не зависящими от t, можно изобразить в виде постоянного n-мерного потока жидкости таким образом, что координатами движущейся точки жидкости будут являться зависимые переменные. Предположим теперь, что в этом «многообразии состояний движения» может быть построена замкнутая (п — 1)-мерная аналитическая поверхность S такая, что каждая линия потока пересекает S по крайней мере один раз в течение любого промежутка времени т и притом каждый раз в одном направлении. Тогда такую поверхность S можно назвать «секущей поверхностью» («surface of section»). Если из точки Р, лежащей в S, мы будем двигаться по линии потока, проходящей через Р в направлении увеличивающегося времени, то мы пересечем S снова в некоторой точке Pi. Таким образом, определяется одно-однозначное аналитическое преобразование секущей поверхности S в себя, а именно, преобразование Г, переводящее каждую точку Р в соответственную точку Pi.
