Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
В следующей главе мы рассмотрим глубже вопрос о распределении периодических движений для динамических систем с двумя степенями свободы. Эти системы представляют собой простейший случай систем неинтегрируемого типа.
Случай одного уравнения первого порядка не представляет никакого интереса. Если дифференциальное уравнение будет
I = вд,
то мы, очевидно, будем иметь равновесие для корней уравнения X = О, в то время как для всех остальных движений будем иметь либо асимптотическое приближение к одному из положений равновесия, либо безграничное увеличение \х\. Здесь положения равновесия играют центральную роль.
В следующем по простоте случае имеется система двух уравнений первого порядка. Тут геометрические методы Пуанкаре1 дают качественные характеристики всех возможных движений, и оказывается, что положения равновесия и периодические движения и в этом случае играют центральную роль. Следующий параграф будет посвящен примеру такого движения.
Если, однако, мы ограничимся рассмотрением системы двух уравнений гамильтонова или пфаффова типа (что соответствует одной степени свободы), то такие системы имеют интеграл энергии. Мы предполагаем здесь, что время t не входит в явном виде в уравнения; случай, когда уравнения содержат время, нужно в сущности рассматривать как имеющий ту же степень общности, что и случай двух степеней свободы. Если мы теперь будем считать переменные р, q координатами точ-
1См. его статью «Sur les courbes definies par une equation differentielle», Journal de Mathematiques, ser. 3, vol. 7, 1881, vol. 8, 1882, ser. 4, vol. 1, 1885, vol. 2, 1886.
Существование периодических движений
133
ки на плоскости1, то через каждую точку проходит одна и только одна кривая движения, и эти кривые могут только быть либо замкнутыми, либо уходящими в бесконечность обоими своими концами. Соответствующие этим двум случаям семейства — семейства периодических движений и неустойчивых движений — составляют множества всех возможных движений системы, за исключением только того, что некоторые из этих кривых могут заключать одну или несколько точек равновесия, в каковом случае мы будем иметь асимптотическое приближение к такой точке в одном или обоих направлениях.
В случае динамических систем более сложного типа неясно: играют ли периодические движения столь же важную роль. Для динамических систем с двумя степенями свободы (рассматриваемых в следующей главе) можно сказать, однако, с почти полной уверенностью, что периодические движения продолжают и тут играть основную роль. В более сложных случаях — для систем с еще большим числом степеней свободы — рекуррентные движения, которые мы рассмотрим в главе 7, быть может, следует рассматривать как надлежащее обобщение периодических движений, и, таким образом, эти движения могут приобрести большое теоретическое значение.
§ 2. Пример системы двух уравнений. Пример, о котором мы упоминали в предыдущем параграфе, касается прямолинейного движения частицы в поле сил самого общего вида.
Выражаясь точнее, мы рассматриваем движение частицы Р единичной массы по прямой линии под действием силы /(ж, v), зависящей от пространственной координаты частицы х и от ее скорости v? Ради определенности мы предположим, что имеется одно и только одно положение равновесия на прямой движения и что рассматриваемое движение устойчиво в том смысле, что для t > 0 х и v остаются ограниченными по абсолютной величине.
Обычная форма уравнений движения выражается одним уравнением второго порядка:
d2x _ * ( dx\
dt2 ; V dt ) ’
где функция / предполагается известной, причем мы будем считать, что она — аналитическая относительно обоих своих аргументов. Если мы поместим начало координат в точку равновесия, то будем иметь кроме того:
/(О, 0) = 0, /(ж, 0) ф 0, если х ф 0.
1 Можно представить себе, что р, q являются координатами на более сложной поверхности, но мы ограничимся здесь простейшим случаем плоскости.
2Краткое изложение рассматриваемой здесь задачи см. в моей статье «Stabilita
е Periodicita nella Dinamica», Periodico di Matematiche, ser. 4, vol. 6, 1926.
134
Глава 5
Введем обозначение dx/dt = у и заменим написанное выше уравнение второго порядка системой двух уравнений первого порядка:
dt у’
л = ,{х'у)¦
Эта система уравнений, очевидно, принадлежит к тем системам, для которых имеют место теоремы существования и единственности.
Если мы будем считать ж, у прямоугольными координатами точки Q на плоскости, то возможные движения частицы соответствуют заполняющим плоскость ж, у аналитическим интегральным кривым, для которых
dy = f(x, у) dx У '
Единственной кривой, выродившейся в точку, будет начало координат, отвечающее точке равновесия. Остальные кривые имеют всюду касательную, непрерывно изменяющую свое направление, так как нигде, кроме начала координат, dx/dt и dy/dt на обращаются в нуль одновременно. Кроме того, угловой коэффициент касательной может обращаться в бесконечность только для точек, лежащих на оси х.
Рассмотрим теперь определенную интегральную кривую, соответствующую данному устойчивому движению. Пусть Qq (рис. 1) будет точка на этой кривой, соответствующая t — 0. Для определенности предположим, что Q0 лежит в верхней полуплоскости; изменения, которые следует сделать в наших рассуждениях, если Qо лежит в нижней полуплоскости, очевидны. Так как dx/dt = у остается положительной до тех пор, пока точка Q, лежащая на интегральной кривой, не пересечет оси абсцисс, то Q движется непрерывно вправо, если t возрастает от своего начального значения 0.
