Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Регулярная и хаотическая динамика. Том 8" -> 47

Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.

Козлов В.В., Борисов А.В., Данилов Ю.А. Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 — НИЦ РХД, 1999. — 407 c.
Скачать (прямая ссылка): regulyarnayaihaoticheskayadinamika1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 147 >> Следующая

Таким образом, максимальная длина Lp кривых р-го покрытия уменьшается (или по крайней мере не увеличивается) с увеличением р и стремится к положительному пределу L ^ d.
Легко показать теперь, что соответствующая последовательность кривых покрытия
Р[р) ...Р^Р[Р) (р = 1,2,...),
длина которых как раз равна максимальной длине Lp, будет иметь предельную замкнутую геодезическую линию, имеющую длину L. Для этого мы сначала докажем следующую лемму, из которой все будет сразу следовать.
Лемма. Возьмем какую-нибудь замкнутую кривую, состоящую из п равных дуг Р1Р2, ... , PnPij длиной каждая <С d и с общей длиною ^ d, и зальеним ее кривой, состоящей из геодезических дуг, Pi ... РпР\ и затем эту последнюю заменим кривой, состоящей из геодезических дуг Q1... QnQi? где точки Q1, ... , Qn делят кривую Pi... PnPi на п равных частей, причем точка Qi является серединой дуги Р1Р2. Если внешний угол между двумя последовательными геодезическими линиями Pi-iPi и PjPj+i в какой-нибудь вершине превосходит 8 > 0? то разность между длиной первоначальной кривой и длиной последней кривой (Q1 ...QnQi) будет превосходить некоторое определенное положительное число, зависящее только от 8.
Прежде всего мы заметим, что каждая из двух замен не увеличивает общую длину кривой. Следовательно, лемма будет, действительно, справедлива, если первый шаг значительно уменьшит длину кривой. Предположим, что первый шаг уменьшает длину кривой очень мало. Так как п фиксировано раз навсегда, то это значит, что длина каждой из геодезических дуг P^Pi+1 почти равна длине первоначальной дуги PjPj+i. По теореме Осгуда в вариационном исчислении, первоначальные дуги должны быть весьма близки к новым геодезическим дугам, а эти последние должны иметь почти равную длину. Следовательно, точки <3«, делящие новую кривую на п равных частей, лежат очень близко к серединам геодезических дуг P{Pi+1- Отсюда следует, что если внешний угол в какой-нибудь вершине Pi превосходит 5, то сумма
Существование периодических движений
147
геодезических дуг Qi-\Pi и PiQi будет превосходить геодезическую ДУГУ Qi-iQi на некоторое определенное (зависящее от 5) положительное число. Отсюда непосредственно следует лемма. Таким образом, мы дали схему доказательства. Очевидно, что само доказательство носит такой характер, что подробная трактовка всех связанных с ним вопросов равномерности слишком удлинила бы его, однако приведенная схема доказательства дает достаточное представление об общем ходе рассуждения (12).
Из этой леммы сразу следует доказываемое утверждение. В самом деле, если бы все внешние углы во всех вершинах ломаных, состоящих из геодезических дуг, не стремились равномерно к нулю, то длины кривых нашей последовательности бесконечное число раз уменьшались бы больше чем на некоторое определенное положительное число, что, разумеется, невозможно. Следовательно, эти внешние углы стремятся к
(v)
нулю. Но точки Pj имеют, по крайней мере, одну предельную точку Pi, и направления геодезических дуг имеют предельное направление, в силу чего существует предельная геодезическая линия, которая, разумеется, будет замкнута и как раз длины L.
Если т-мерная характеристическая поверхность М гомеоморфна т-мерной гиперсфере? то существует, по крайней мере, одно периодическое движение, получаемое вышеприведенным процессом.
Естественно ожидать, что такое движение будет минимаксного типа, но мы не будем заниматься этим вопросом. В простейшем случае двух степеней свободы это предположение оказывается правильным.
§ 8. Обобщения Морса. Методы минимума и минимакса могут дать нам только некоторые типы периодических движений. Недавняя замечательная работа Морса1 заставляет предполагать с большой долей вероятности, что все типы периодических движений могут быть обнаружены посредством надлежащего обобщения этих методов, основанного на более глубоком применении принципов топологии. Кроме того, числа периодических движений разных типов (из которых типы минимума и минимакса являются простейшими) связаны между собой различными соотношениями, открытыми Морсом. До сих пор, однако, применение этих соотношений подробно развито им только для случаев динамических систем с двумя степенями свободы, рассматриваемых в окрестности периодического движения.
хСм. его статью: Morse, «Relations Between the Critical Points of a Function of Independent Variables», Trans. Amer. Math. Soc., vol. 27, 1925, а также статью «А Theory of the Ordinary Problem of the Calculus of Variations in the Large». См. также книгу: Morse, «The Calculus of Variations in the Large», Amer. Math. Soc. Coll. Publ., vol. XVIII, 1934.
148
Глава 5
§ 9. Метод аналитического продолжения. При методе аналитического продолжения Хилла и Пуанкаре мы исходим из известного периодического движения и получаем аналитическое продолжение его при изменении параметра с.
Для определенности мы будем рассматривать систему уравнений Гамильтона:
<к> = _ш, isi = ш =
dt dqi dt dpi
где H есть аналитическая функция от pi, ... , qm, ?, с, периодическая
относительно t с периодом 27г. Кроме того, мы предположим, что начало координат есть точка обобщенного равновесия при с = 0.
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed