Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
— Uil{(ui, ... , um)
(i = 1, ... , m), (10)
(i = 1, ... , m), (11)
(i = 1, ... , m). (12)
Кроме того, по вышеприведенным соображениям постоянное слагаемое pi в li есть вещественное положительное число(27). Легко показать теперь, что решения уравнений (10) и (11) могут быть связаны соотношением (12) только в том случае, если W = 0.
Прежде всего напомним, что Ui и У имеют постоянные члены соответственно Ai и —А*, дающие в сумме нуль. Следовательно, ряд Wi не имеет постоянного слагаемого, и при Wi ф 0 этот ряд должен начинаться с членов некоторой положительной степени г. Обозначим сумму всех членов степени г в Wi через Wir. Если мы произведем указанную замену переменных, то получим равенства
du'
= —piWir(p1ui, ... , ртит)щ Л-----= piWir(ui, ... , ит)щ Н----,
где выписаны явно только члены низшей степени г + 1 относительно ui, ... , ит. Отсюда получаем, сравнивая эти низшие члены:
^Угг(Р1^1? • • • ? Pm'U'm) “1“ ^Угг(^1? • • • г ^ш) — 0.
Рассмотрим теперь какой-нибудь член выражения Wir, скажем,
CiU*1 ... м"т (ai Н-----\-ат= г).
Последнее равенство дает
ъ(1 + р?...р%") = 0,
130
Глава 4
что невозможно, если Ci / 0. Следовательно, все члены W(r должны обращаться в нуль, что противоречит предположению, что г есть степень начальных членов W{. Отсюда следует, что таких членов не существует, и значит, W{ = 0 (г = 1, ... , га). Иначе говоря, из требования обратимости вытекает, что уравнения (7) имеют вид
— jj.c. — —JJji-
dt ~Ui^ dt ~ VtTh’
который, как мы знаем, характерен для случая полной устойчивости.
Если для какой-нибудь системы имеет место устойчивость первого порядка, то обратимость является необходимым и достаточным условием полной устойчивости обобщенного равновесия.
Случай обычного равновесия, разумеется, еще проще, чем только что рассмотренный случай обобщенного равновесия, и для него получаются результаты, вполне аналогичные изложенным выше.
§ 8. Другие виды устойчивости. Мы уже определили два вида устойчивости: устойчивость первого порядка и полную или тригонометрическую устойчивость. В § 2 было доказано, что для уравнений динамики (гамильтоновых и пфаффовых) из устойчивости первого порядка следует полная устойчивость. Некоторые другие виды устойчивости тоже представляют интерес.
На первое место в этом отношении, как теоретически наиболее важную, нужно поставить «перманентную устойчивость», при которой малые отклонения от состояния равновесия или периодического движения остаются малыми все время. Таков тип устойчивости обычного равновесия, когда потенциальная энергия имеет минимум. Уравнения динамики принадлежат к такому типу, для которого эта устойчивость может существовать, хотя, вообще говоря, вопрос о том, имеется она или нет в каком-нибудь данном случае, принадлежит к числу чрезвычайно трудных вопросов и составляет так называемую «проблему устойчивости». До сих пор эта проблема разрешена только для тех случаев, когда какой-нибудь известный сходящийся интеграл гарантирует существование подобной устойчивости перманентного типа.
Другим типом устойчивости будет тот, когда малые отклонения остаются таковыми в течение очень долгого промежутка возрастающего или убывающего времени. Достаточным условием такой «полуперма-нентной устойчивости» будет существование интеграла, выраженного формальными рядами, которые начинаются с однородного полинома, образующего определенную форму относительно зависимых переменных. Представляется вероятным, что небольшое изменение этого достаточного условия сделает его необходимым и достаточным. Разумеется, для полной устойчивости необходима полуперманентная устойчивость.
Устойчивость периодических движений
131
Наконец, Ляпуновым и другими был рассмотрен еще один вид устойчивости — «односторонняя устойчивость», при которой малые отклонения остаются малыми при t > 0 и, вообще говоря, стремятся к нулю с безграничным увеличением 11(28). Легко показать, что если все т множителей имеют отрицательные вещественные части, то мы будем иметь этот вид устойчивости. С другой стороны, для этой устойчивости необходимо, чтобы ни один из множителей не имел положительной вещественной части. В случае уравнений динамики, однако, вещественные части всех множителей не могут быть одновременно отрицательными, потому что каждому множителю А* соответствует множитель —А*. Таким образом, односторонняя устойчивость для уравнений динамики возможна только в том случае, когда все множители будут чисто мнимые числа. В этом же случае из односторонней устойчивости какой-нибудь системы следует перманентная устойчивость.
Таким образом, для задач динамики важными типами устойчивости будут: полная или тригонометрическая устойчивость и упомянутая уже перманентная устойчивость. Мы вернемся позже (глава VIII) к важной проблеме о взаимоотношениях этих двух типов устойчивости.
хСм., например, Picard, «Traite d’Analyse», т. 3, гл. 8.
Глава 5
Существование периодических движений
§ 1. Роль периодических движений. Периодические движения, включая равновесие, составляют очень важный класс движений динамических систем. В этой главе нашей главной целью будет рассмотрение различных общих методов, позволяющих устанавливать существование периодических движений.
