Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Это будет во всех тех случаях, когда динамическая проблема «симметрична» в том смысле, что все точки характеристической поверхности можно разбить на пары симметричных точек, так что интеграл I будет иметь одно и то же значение вдоль какой-нибудь кривой и вдоль
L — Lq + Li + L 2
L2 — Lq — с,
хСм. мою уже цитированную статью (§14).
140
Глава 5
ее симметричного изображения. Если это условие удовлетворено, и, если мы будем считать локальные координаты gi, ... , qm каждой точки пары одинаковыми, то Lq, L\, L2 будут тоже одинаковыми в симметрических точках.
Чтобы иллюстрировать заключающуюся здесь идею, будем считать, что поверхность М лежит в обычном пространстве и симметрична относительно начала координат, но не проходит через него, так что если х, у, z — координаты точки М, то —ж, —т/, —2: будут координатами симметрической точки М. Разумеется, М считается связной и обладающей ранее указанными свойствами; в частности, М может быть выпуклой поверхностью, симметричной относительно начала. Интеграл I можно считать обыкновенной длиной дуги кривой, лежащей на поверхности М.
Возьмем теперь какую-нибудь кривую I = ABCDA на М, такую, что CD А есть изображение ABC и, следовательно, А и С — симметрические точки. Будем непрерывно деформировать кривую каким угодно образом, но с единственным условием, чтобы она всегда состояла из двух симметричных дуг ABC, CD А.
Тогда интеграл I вдоль кривой I будет иметь абсолютный минимум, который будет достигнут на какой-нибудь кривой этого типа. В самом деле, нам достаточно принять симметрические точки за тождественные и рассмотреть интеграл I вдоль замкнутой кривой на полученном посредством такого отождествления многообразии.
Если лагранжева проблема такого типа обладает симметрией в указанном выше смысле и если I есть какой-нибудь симметрический замкнутый путь на характеристической поверхности М, то будет существовать симметрическое периодическое движение, эквивалентное I, для которого I есть абсолютный минимум.
В частности, пусть мы имеем замкнутую m-мерную аналитическую поверхность той же связности, что и гиперсфера, лежащую в (га + 1)-мерном пространстве и симметричную относительно начала. Предыдущий результат немедленно прилагается к этой поверхности и указывает на существование по крайней мере одной геодезической линии без кратных точек.
В более общем случае, если лагранжева проблема этого типа допускает аналитическое преобразование в себя Т, k-я степень которого представляет собою тождественное преобразование, и если I есть замкнутый путь, инвариантный относительно Т и не сводимый в точку на М(7)? то существует периодическое движение, эквивалентное /(8).
§ 5. Критерий Уиттекера и аналогичные результаты. До сих
пор мы имели дело с лагранжевыми динамическими проблемами, характеристические поверхности которых не имели никаких границ, за
Существование периодических движений
141
исключением границ на бесконечности. Очень просто, однако, распространить полученные результаты на случаи, когда М ограничено одной или несколькими аналитическими (га—1)-мерными поверхностями, при условии, что единственная малая геодезическая дуга, соединяющая какую-нибудь упорядоченную пару близких точек, лежащих в М, тоже лежит в М. Границу, которая обладает этим свойством, будем называть «выпуклой».
В самом деле, кривая в М, дающая минимум, будет в этом случае либо замкнутая экстремальная кривая, в каком случае она, очевидно, не касается ни одной из границ и, следовательно, лежит целиком в М, либо она состоит из конечного или бесконечного числа экстремальных дуг, вершины которых, разумеется, должны лежать на границах М. Но по определению выпуклой границы дающая минимум кривая не может содержать вершин на границах М. В самом деле, если бы такая вершина V существовала, то малая дуга AVB, содержащая V, могла бы быть заменена более короткой экстремальной дугой АВ, лежащей целиком внутри М. Таким образом, мы пришли к противоречию.
Поверхность М7 определенная в предыдущем параграфе, может иметь любое число конечных выпуклых границ, помимо границ в бесконечности, и для такой поверхности справедливы полученные в предыдущем параграфе теоремы существования периодического движения.
Первоначальный критерий Уиттекера относился к обратимому случаю систем с двумя степенями свободы, причем М было кольцом. Полученный результат гласил, что имеется периодическое движение минимального типа, совершающее в кольце один оборот1.
§ 6. Метод минимакса. Посредством метода «минимакса» можно устанавливать существование дальнейших периодических движений. Простейшую иллюстрацию этого метода мы получим, если будем рассматривать геодезические линии на поверхности вида тора в обыкновенном трехмерном пространстве. Изложенный выше метод минимума, очевидно, дает нам для каждого класса эквивалентных замкнутых кривых, не сводимых в точку, по крайней мере одну геодезическую линию, принадлежащую этому классу. Будем теперь деформировать замкнутую кривую I таким образом, что в начальном и в конечном положении она будет совпадать с упомянутой минимальной геодезической линией и по крайней мере одна из угловых координат увеличится при деформации на 2&7Г. Конечно, во время этого движения длину I придется, вообще говоря, увеличивать по сравнению с начальной, и эта длина пройдет через некоторый максимум. Рассмотрим деформацию, для которой этот максимум будет наименьшим. В некотором положении Г кривая I действительно достигает этого максимума. Это положение Г
