Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Какая-нибудь другая кривая движения может иметь точку между двумя периодическими кривыми, и в этом случае она будет лежать целиком между обеими кривыми и будет устойчива. Частица будет в этом случае приближаться асимптотически к одному из периодических движений, когда t безгранично возрастает, и к другому, когда t безгранично убывает.
Единственный другой случай, который может представиться, — это случай кривой движения, лежащей снаружи от самой внешней (последней) кривой совокупности периодических движений(5). Это движение, очевидно, будет устойчиво в одном и только в одном направлении и приближается асимптотически к периодическому движению, соответствующему внешней кривой, когда t безгранично возрастает в этом направлении.
§ 3. Метод минимума. Пусть теперь мы имеем лагранжеву динамическую проблему:
где L есть функция пространственных координат gi, ... , gm и скоростей ... , q'm, квадратичная относительно этих последних переменных.
Выраженная этой вариационной формулой система дифференциальных уравнений имеет интеграл энергии, а именно:
Прибавляя к Lq надлежащее постоянное слагаемое, мы можем обратить для данного движения произвольную постоянную в написанной формуле в нуль. Мы попробуем упростить поставленную задачу, пользуясь интегралом энергии, который можем написать теперь в виде
Ь2 — Lq = COnst.
Ь‘2 Lq — 0.
138
Глава 5
Как мы уже видели, задаче можно дать иную вариационную формулировку, а именно:
(см. главу II, §3), где подынтегральное выражение представляет собой однородную функцию от g^,... , g!гт размерности один и где, следовательно, значение интеграла не зависит от параметра t вдоль пути интегрирования, а только от самого пути в пространстве (gi, ... , gm).
Далее, координатами являются gi, ... , gm. Но выбор той или иной системы координат не существен, потому что любое однозначное аналитическое преобразование переменных не влияет на вариационный принцип. Необходимо, однако, потребовать, чтобы система значений координат gi, ... , qm образовала некоторое аналитическое многообразие М известной связности. Соответственно этому мы принимаем, что коэффициенты в L суть аналитические функции от gi, ... , qm на многообразии М, если gi, ... , qm выбраны подходящим образом. Предположим, кроме того, что выражение 4Lo^2 — L\, которое является однородной квадратичной формой относительно скоростей, будет положительной определенной формой. Мы можем рассматривать выражение ds2 = LoL2dt2 как квадрат элемента дуги на «характеристической поверхности» М.
Обозначим через I любую замкнутую кривую в М, которую нельзя непрерывно деформировать в точку. Многообразие М здесь считается многосвязным в смысле линейной связности(6).
Предположим далее, что при такой непрерывной деформации кривой / интеграл I вдоль этой кривой безгранично возрастает, если / не остается целиком в конечной части многообразия М, а также, что I превосходит некоторую положительную константу /о при любом выборе I. В этом случае, следовательно, будет существовать положительная точная нижняя граница для значений интеграла I вдоль этих кривых.
Интуитивно очевидно, что эта граница будет достигнута на некоторой замкнутой кривой, которая будет соответствовать какому-то периодическому движению. Здесь мы не будем входить в детали доказательств, а ограничимся тем, что выскажем результат1.
хСм. мою статью «Dynamical Systems with Two Degrees of Freedom», Trans. Amer. Math. Soc., vol. 18, 1917, где метод минимума разработан полнее и где имеются ссылки на важные предшествующие статьи Hadamard’a, Whittaker’a, Hilbert’a и Signorini.
Существование периодических движений
139
Если нам дана лагранжева динамическая проблема этого рода с функцией
и на характеристической поверхности М дан какой-нибудь замкнутый путь Iу не сводимый в точку? то для любого заданного значения с постоянной энергии? т. е. для
существует периодическое движение того же типа (в смысле непрерывных преобразований), что и I, для которого
имеет абсолютный минимум.
Если L1 = 0? так что динамическая система обратима? то интеграл превращается в длину дуги s на характеристической поверхности и периодическое движение соответствует замкнутой геодезической линии данного типа.
В случае двух степеней свободы (га = 2) этот метод минимума дает только те периодические движения неустойчивого типа, для которых оба не равные нулю множителя вещественны1. Аналогичные результаты, несомненно, справедливы для любого числа степеней свободы и могут быть получены при помощи классических методов вариационного исчисления.
Если мы будем изменять постоянную энергии с, то почти очевидно, что периодическое движение будет изменяться аналитически. Мы имеем здесь, таким образом, пример аналитического продолжения периодического движения с изменением параметра (см. §9 этой главы).
§ 4. Приложение к симметрическому случаю. Существует один случай, когда прямое приложение метода минимума невозможно, а именно: случай характеристической поверхности, не содержащей не сводящихся в точку циклов. Интересно отметить, что даже в этом случае небольшое видоизменение метода минимума иногда может стать применимым.
