Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, выписывая члены до третьей степени включительно относительно р*, </*, мы имеем:
Таким путем мы можем последовательно удалять из Pi,Qi члены все высшей и высшей степени, за исключением членов, являющихся произведениями соответственно pi или на полиномы относительно гп произведений PjQj. Коэффициенты в Pi, Qi при этих остающихся членах будут постоянные числа, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку.
з=1
з=1
Устойчивость периодических движений
123
Всякая вполне устойчивая система уравнений (1) может быть формально приведена к нормальному виду
dfc л
dt
(г = 1, ... , го), (6)
где Mi, ... , Мт являются чисто мнимыми степенными рядами(19) от-носительно т переменных гц, т. е.
т
Mi = А* - X 4---- (* = 1,--, ГО),
3=1
и r)i суть сопряженные комплексные переменные.
Обратно, если какая-нибудь система уравнений может быть приведена к такому нормальному виду, то из рассуждений § 2 следует, что такая система вполне устойчива.
§ 6. Доказательство леммы о тригонометрических суммах. Рассмотрим последовательность тригонометрических сумм ф{Ь), удовлетворяющих всем условиям доказываемой леммы. Для таких сумм имеет место символическое равенство
[.D(D2 + ll)(D2 + I2) ...(D2+ l2n)] ф = 0,
где в символическом дифференциальном операторе слева знак D обозначает обычное дифференцирование по t. Интегрируя 2N + 1 раз, получаем:
дг t t n t t
^ + X lJ j / dt2 +¦¦¦+ (Д if) J ¦¦¦ J ФЦ) dt2N = P(t),
j=1 0 0 j=1 о 0
где P(t) — полином не выше чем 2N-H степени.
Далее, все U (г = 1, ... , N) превосходят по абсолютной величине /, так как по условию имеем:
\h-lo\ = \h\^l (i = l,... ,7V).
Очевидно теперь, что мы можем выбрать такую подпоследовательность тригонометрических сумм V;(^)? что Для нее вес mi — кото-
н
рые все численно меньше, чем у, будут стремиться к пределам га|,
124
Глава 4
причем |га,*| ^ 1/1. Любые два таких числа га,*, га^, разумеется, могут быть равны, только если оба равны нулю. Разделим теперь обе части предыдущего интегрального уравнения на произведение ... , l2N и перейдем к пределу. Так как 'ф стремится к <р равномерно, то мы тотчас же получим:
где Q(t) как предел равномерно сходящейся последовательности полиномов порядка не выше 27V, является само таким полиномом(20). Отсюда мы можем сделать немедленное заключение, что удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами
общим решением которого является тригонометрическая сумма
где знак суммы распространяется только на те значения j, для которых не равно нулю. Следовательно, (р будет такой тригонометрической суммой.
§ 7. Обратимость и полная устойчивость. Можно было бы показать, как тесно связаны между собою вариационный принцип и требование полной устойчивости системы1. Вместо этого мы предпочитаем, следуя другому направлению мысли, показать, что требование полной устойчивости тесно связано также с требованием обратимости во времени данной системы дифференциальных уравнений, если только мы дадим надлежащее обобщение обычному определению обратимости (21).
Мы будем говорить, что данная система (5), имеющая в начале координат точку обобщенного равновесия, «обратима», если при замене t на —t вновь полученная система эквивалентна первоначальной по отношению к преобразованиям формальной группы.
При таком изменении знака переменной t все множители системы тоже меняют свой знак, т.е. Ai переходит в —А^. Отсюда прежде всего
хСм. мою статью «Stability and the Equations of Dynamics», Amer. Journ. Math., vol. 49 (1927).
[D(m?D2 + 1)... (m%D2 + 1)] = 0,
Устойчивость периодических движений
125
очевидно, что для обратимой системы четного порядка эти множители разбиваются на пары, так что множители каждой пары одинаковы по абсолютной величине и противоположны по знаку. Нас интересует главным образом тот случай, когда эти множители являются, кроме того, чисто мнимыми количествами, между которыми не существует никаких линейных соотношений с целыми коэффициентами. Мы будем, следовательно, считать, что эти условия устойчивости первого порядка выполнены.
Очевидно, что приведенное определение обратимости не зависит от выбранной системы зависимых переменных. Отсюда следует, что если мы имеем вполне устойчивую систему, то мы можем рассматривать ее в нормальной форме (6). Замена t на —t приводит нас к измененным уравнениям:
<^ = Mili, (^=MiT)i (i = l, ... ,т),
где мы пишем черту над буквами во избежание путаницы. Но от прежних уравнений к новым можно перейти посредством преобразования, принадлежащего формальной группе:
& = Vi, Vi =
Следовательно, если какая-нибудь система (5) обладает устойчивостью первого порядка, то необходимым условием полной устойчивости такой системы будет обратимость ее в смысле вышеприведенного определения.
Остается только показать, что это простое необходимое условие является также достаточным.
Тот же процесс нормализации, который был применен в § 5, приводит нас к нормальной форме более общего вида:
dt ~ и'Ь’ dt ~VtVt { )
где Ui, Vi — функции от га произведений ?1/71, ... , ?т'Пт с начальными членами соответственно А^, — А*. Это можно показать без помощи гипотезы полной устойчивости.
