Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Регулярная и хаотическая динамика. Том 8" -> 39

Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.

Козлов В.В., Борисов А.В., Данилов Ю.А. Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 — НИЦ РХД, 1999. — 407 c.
Скачать (прямая ссылка): regulyarnayaihaoticheskayadinamika1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 147 >> Следующая

Если мы теперь заменим t на —то эти нормализированные уравнения переходят в уравнения
126
Глава 4
По нашему предположению эти новые уравнения эквивалентны первоначальным уравнениям (7). Заметим теперь, что уравнения (8) имеют тот же вид, что и (7), с той только разницей, что & и обменялись ролями и функции —i/i, —Vi заменяют прежние Vi, Ui.
Легко доказать, с другой стороны, что самое общее преобразование, сохраняющее нормальную форму уравнений (7), имеет вид
& = lifi, Vi = Viii (i = l, , m), (9)
где fi и gi — произвольные степенные ряды относительно т произведений ?ifji с постоянными членами, не равными нулю, и с коэффициентами, не зависимыми от t.
В том, что преобразования такого рода сохраняют нормальный вид уравнений (7), легко убедиться прямой подстановкой. Прежде всего замечаем, что обратное преобразование имеет такой же вид:
= Zihi, Vi = Viki (i = l, ... ,m),
причем
Отсюда находим
где
ш „
йг = fi [hiUi + Y, %*SUj + VjKjVj] («4 = Ш,
j=1 3
и такие же выражения для dfji/dt при i = 1, ... , m(22).
Для доказательства того, что формулы (9) дают самый общий вид преобразований, сохраняющих нормальный вид, мы будем в формулах таких преобразований рассматривать последовательно члены первой, второй и т. д. степени.
Итак, рассмотрим члены первой степени в рядах, выражающих rji через гц. Эти члены мы можем написать в виде
a?i + f>Vi, Ф + dvi(2Z) соответственно, так что, например, имеем:
/Л: = gih = 1.
+ br}i) — aXi^i — bXiTJi + + * * * = А*(а& + brji) + • • • ,
Устойчивость периодических движений
127
если мы хотим, чтобы преобразование сохраняло нормальный вид уравнений, хотя бы только для членов первой степени. Отсюда мы заключаем, что Ь равно нулю и что а — постоянное число(24).
Подобным же образом с равно нулю и d — постоянная сопряженная с а(25).
Следовательно, ряды, дающие преобразования для переменных r]i к новым rji, имеют требуемые линейные члены.
Итак, самое общее преобразование, сохраняющее нормальную форму уравнений, может быть представлено как композиция линейного преобразования
= a?i, щ = at]i, (i = l, , т), принадлежащего группе преобразований (9), и преобразования вида
= & + Fi, Vi — + Gi,
где Fi,Gi начинаются с членов не ниже второй степени.
Обозначим через Рг2 и G^2 однородные квадратичные слагаемые F{ и Gi соответственно. Таким образом, выписывая члены первой и второй степени, имеем:
= & + Fi2 Н-, Vi = Vi + Gi2 Н- (i = 1, ... , т)
и обратное преобразование
& = fi -Fi2 + ••• , Vi = Vi-Gi2 + ¦¦¦ (г = 1, ... , га),
где Fi2 9 Gi2 суть просто i^2, G*2, в которых щ заменены на fj{ соответственно. Мы должны определить самый общий вид i^2, G^2, при котором нормальная форма уравнений может сохраниться. Можно написать:
л ' • А. МЛ h dm) и/
при г = 1, ... , m, откуда, сравнивая члены второй степени обеих частей, получаем:
] = 1 , * % / &
128
Глава 4
Если при определении коэффициентов отдельных слагаемых Fмы будем рассуждать, как в § 5, то придем к заключению, что Fдолжно обращаться в нуль. Подобным же образом найдем, что G{2 равно нулю. Таким образом, наше преобразование имеет члены до второй степени включительно требуемого вида, и нам нужно теперь рассмотреть преобразование
+ FiZ + ‘ ‘ 9 Vi — Vi + ^*3 + * ‘ ‘ (г = 1, . . . , m) и обратное преобразование
?i = ti~Fi 3 + '", Vi = Vi-Gi3 + -" (г = 1, ... , m).
Мы приходим в этом случае к га уравнениям
-A F I У.\ (г dFiz п тА I dF., г±и
г г3 + 2^ J dij h дщ ) dt ~ ^ г2'
где ДС/*2 обозначает разность между членами второй степени в [/* и в Ui, причем мы должны заменить в Ui все на щ. Таким обра-
зом ДЕ/*2 представляет собой линейную функцию этих т произведений с постоянными коэффициентами. Но тем же способом, что и в § 5, мы можем теперь показать, что всякий член F.^ содержит множитель & и что Fft имеет вид
ш
3 = 1
Разумеется, G^ может быть представлено подобной же формулой, причем общим множителем, содержащимся во всех членах, является теперь rji.
Следовательно, наше преобразование имеет указанный вид до членов третьей степени включительно. Но в этом случае это преобразование может быть представлено как композиция преобразования
Ji = a€i+Fi3, Vi = dru + Giz (г = 1, ...,то),
принадлежащего к группе преобразований типа (9), и дальнейшего преобразования
— & + ^4, Vi — Vi +
так что мы можем повторить подобные же рассуждения относительно членов четвертой степени. Таким образом шаг за шагом мы приходим
Устойчивость периодических движений
129
к доказываемому утверждению, что самый общий вид преобразований, сохраняющих нормальную форму (7), есть как раз (9).
Остается рассмотреть, в каких случаях возможно перейти посредством преобразования типа (9) от уравнений (7) к уравнениям (8), в которых мы будем теперь писать fji вместо гц, чтобы, таким образом, различить две системы переменных ... , г/ш и ?1? ... , rjm. Если мы положим ui = ?if]i, щ = Wi = Ui + У, то получим две системы уравнений относительно щ, ... , ?1ш и«1, ... ,ига,а именно:
^=Wi(Ul, ... ,ит)щ
дщ
dt
причем имеют место соотношения
Ui — Uihi{ui, ... , um)ki(ui, ... , 'Мш) —
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed