Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Pi=Pi + Vi2, 4i = qi+i>i2 (* = 1,
здесь Tpi2 и ф{2 — однородные квадратичные полиномы относительно р17 ... , gm, коэффициенты которых суть аналитические периодические функции от t. Легко видеть, что дифференциальные уравнения сохранят свой вид с новыми Pj, Qi, которые будут иметь однородные квадратичные слагаемые вида
р I 2 л d(fi2
р« + - AiVa “ ST'
ГЛ , ( д'Фы d^i2 \ I д'0г2
L - ъ -щ) \ + а<^2 -
соответственно. Рассматривая эти выражения, мы легко убеждаемся, принимая во внимание несоизмеримость множителей Ai, ... , Аш, что эти новые Pi2 и Qi2 можно обратить в нуль надлежащим выбором <^2 и фг2 одним и только одним способом. В самом деле, пусть
p(t)pТ ¦ ¦ • • • €т («1 + • • • + А» = 2)
будет какой-нибудь член Р^2 и пусть коэффициентом подобного члена tpi2 будет ip(t). Из написанного выше выражения для нового Р^2 будет тогда следовать дифференциальное уравнение для <p(t):
7П j
P(t) + [$>, - Pi)h ~ Аг]^ - = О,
3 =1
которое может быть удовлетворено периодической функцией с периодом т, если только коэффициент при не будет кратным 27Г\/^Т/т, что невозможно на основании нашего предположения о несоизмеримости. Такое периодическое решение будет, кроме того, единственным (см. главу III, § 9).
Таким образом, мы можем обратить в нуль все члены второй сте-пени в Pi, Qi(15).
Совершенно подобным же способом мы можем посредством преобразования вида
Pi=Pi+Vi3, <7i = <7г + ^гз (* = 1, ...,т)
120
Глава 4
обратить в нуль все члены третьей степени в Pi, Qi, за исключением тех, для которых выражения
т т
_ Рэ)^э ~ _ А')А? + -*»> (Qi ^---Ь ftm = 3)
j=l J=1
обращаются в нуль. Эти исключительные члены имеют вид: P(t)PiPjQj, Q(t)QiPjQj U = 1, ... , m).
Но даже и для этих членов функции (р и ф могут быть выбраны таким образом, чтобы новые коэффициенты, а именно:
«*>-?
были постоянными числами (см. главу III, §9). Следовательно, возможно привести Pi, Qi к следующему нормальному виду:
Pi — Pii^ilPlQl Н- * * * Н- CirnPrnQm) “Ь • • • ?
Qi = Qii^ilPlQl + * ‘ * + dimpmQm) + . . . ,
где мы выписали в правых частях члены третьей степени Р^з и Qis{16)-Следующим нашим шагом необходимо показать, что в случае полной устойчивости выражения Р^ и Qz3 должны удовлетворять дополнительным соотношениям
QiPis + PiQiz =0 (г = 1, ... , га),
т. е. Cij + dij = 0 (i, j = 1, ... , га). Для того, чтобы доказать это утверждение, мы воспользуемся следующей, почти очевидной, леммой.
Лемма о тригонометрических суммах. Пусть нам дана последовательность тригонометрических сумм вида
N
j COS Ijt + Bj sinIjt) (Ili -lj\> I > 0),
3 =1
где N, l суть постоянные количества, a Ai, Bi, li изменяются, причем? однако, во всех суммах 10 = 0. Если эта последовательность стремится к пределу cp(t) равномерно в некотором интервале, то (p(t) само является в этом интервале тригонометрической суммой порядка не выше N.
Устойчивость периодических движений
121
Доказательство этой простой леммы мы отложим до следующего параграфа.
Рассмотрим квадратичные полиномы Piqi. Из данных дифференциальных уравнений находим:
где ненаписанные члены будут не ниже пятой степени, а члены написанные имеют вид
PiQiKcn + rfii)pi9i Н---Ь (Cim + dim)pmqm] (i = l, ... , m).
Мы покажем, что это выражение тождественно равно нулю.
В самом деле, из только что приведенных дифференциальных уравнений следуют тотчас же неравенства
для % = 1, ... , /п, где 7Ti, ... , 7гш, разумеется, суть неотрицательные количества(17). Эти последние неравенства дают
для любого данного промежутка времени \t — to\ ^ Т, при условии, что щ достаточно мало. Это неравенство можно получить, применяя методы, указанные в § 2. Следовательно, и — щ второго порядка относительно щ во всем этом интервале, и в то же время неравенства для d'Ki/dt показывают, что 7Г* — 7Г? тоже второго порядка. Таким образом выражение
являющееся однородным квадратичным полиномом относительно 7г^, ... , 7гш, отличается от своего значения в точке t = to на величину третьего порядка относительно щ, и приведенные выше дифференциальные уравнения дают:
d(piqi) _ _ , п , ,._л ,
—^— — QiPi3 + PiQiз + • • • (г — 1, ... , т),
<: К(щ н------i-7rm)2 (я-i=p,qi)
UL
j=1
откуда
|и — uqI ^ AmKu\\t — to| ^ 4mKTu\
'I
QiPi3 +PiQi3,
122
Глава 4
Интегрируя, получаем:
*•* - тг° - (qi Pi:} + p°i Q%)(t - to) I ^ LTuq (i - 1, ... , m)
в рассматриваемом интервале. Пусть, далее, мы имеем:
p°i = аге, q® = foe (i = l, , тп),
где ai, /?i, ... , am, (Зт представляют собою т произвольных пар сопряженных комплексных чисел, и предположим, что е стремится к нулю. Последнее написанное неравенство, в котором щ нужно рассматривать как постоянное кратное ?2, показывает, что
причем мы имеем равномерное приближение к пределу в рассматриваемом интервале. С другой стороны, мы можем в этом интервале изобразить 7Т{ тригонометрической суммой вышеуказанного типа с точностью до величины порядка ?5, и, следовательно, — 7г^)/г4 может быть изображено такой суммой с точностью до величины порядка е. Таким образом левая часть написанного равенства есть предел равномерно сходящейся последовательности тригонометрических сумм, удовлетворяющих условию леммы, и, следовательно, она тоже должна быть тригонометрической суммой. Но это может иметь место только в том случае, если суммы сц + d{j обращаются в нуль при всех значениях % и j, что и требовалось доказать.
