Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
В первом случае мы имеем область неустойчивости около инвариантной точки, которая будет неустойчивой, согласно критерию Пуанкаре. В третьем случае мы будем иметь кольцеобразные зоны неустойчивости между каждыми двумя последовательными инвариантными кривыми Д и Д, т.е. такими, что не существует никакого значения т между п и 72; напомним, что совокупность значений г замкнута. Эти кольцеобразные зоны неустойчивости обладают некоторыми замечательными свойствами, напоминающими в значительной мере свойства зоны неустойчивости для первого случая. В частности, можно найти
1Точнее, после п последовательных повторений преобразования Т это приращение (по исследованиям Пуанкаре) будет всегда лежать между пределами пт — 2л-и пт + 2п.
2Это предположение не ограничивает общности, потому что величины с для Т и для Т-1 будут всегда противоположных знаков.
3В случае, если преобразование Т принадлежит классу Соо, но не является аналитическим, формулировка свойства (4) должна быть надлежащим образом изменена.
О существовании областей неустойчивости в динамике
331
точки в любой окрестности какой-нибудь точки одной границы кольцеобразной зоны неустойчивости, которые после нескольких итераций преобразования Т или Т-1 окажутся в окрестности другой границы этой области.
До сих пор ни разу не было доказано существование таких кольцеобразных зон неустойчивости. Главной целью этой статьи будет доказательство их существования, при условии, что преобразование Т — аналитическое и что функция Н принадлежит к классу Соо? хотя, быть может, и не является аналитической.
Если бы можно было пойти далее и доказать существование такой зоны вокруг начала (т. е. для случая, когда одна из кривых Д, обращается в кривую г = 0), то проблема устойчивости была бы разрешена в отрицательном смысле.
§ 8. Для того, чтобы доказать только что высказанное утверждение, рассмотрим в первую очередь сложное преобразование вида Т= = ToRk. Здесь Т0 обозначает преобразование (5) с тп = 1, 0 < с < 7г; Rk есть преобразование, зависящее от параметра к, которое при к = 0 обращается в тождественное преобразование и при всех к сохраняет площади и имеет в качестве инвариантных точек начало координат и все точки окружности г = 1. Мы определим сейчас преобразование R& совершенно точно.
Применяя видоизмененные полярные координаты р — г2, $, мы можем написать преобразование Т0 в виде:
Условие для того, чтобы какое-нибудь преобразование, выраженное посредством этих координат, сохраняло площади, заключается в том, чтобы соответственный функциональный определитель был равен единице(2).
Выберем постоянную а таким образом, чтобы она была отрицательной, но большей, чем —с (—с < а < 0). В этом случае преобразование То оставляет инвариантным не только начало, но и все точки окружности р = -| < 1 в круговой области р 1.
Определим теперь преобразование Rk уравнениями1:
Относительно применения уравнений этого типа см. статью Е. Goursat «Sur les transformations ponctuelles qui conservent les volumes», Bulletin des Sciences Mathematiques, ser. 3, t. V, 1901.
pi = />, i = # + <r + cp.
(6)
332
Приложения
где
U(p,qi) = -{p2+ql-lf{p2+qlfp.
Для к достаточно малых мы видим, что это преобразование является прямым, одно-однозначным и аналитическим, и что оно приводится к тождественному преобразованию для к = 0. Кроме того, начало координат и точки окружности р = 1 остаются инвариантными, и площади сохраняются при преобразовании Rk для всех значений к, что можно показать непосредственным вычислением функционального определителя.
Следовательно, преобразования R& действительно обладают всеми указанными выше свойствами.
Если мы выразим переменные qi в функции от р, д, то мы получим следующие ряды:
Р1=Р + <?) + ••• > <11= Я - |^(р, я) + ---(3) (8)
Выраженные через координаты р, $, эти ряды принимают следующий вид:
Pi =p + 2fc|| + ... , 1?! =i?-2fc|^ + ... (9)
Мы не будем применять эти последние уравнения в непосредственной окрестности начала координат.
§9. Рассмотрим теперь сложное преобразование Tk = T0Rk. Очевидно, что при к достаточно малых это преобразование удовлетворяет следующим условиям:
a) Tk — прямое, одно-однозначное, аналитическое преобразование относительно переменных р, д; оно изменяется аналитически с изменением параметра к\
b) оно сохраняет площади;
c) оно имеет начало координат в качестве простой инвариантной точки; при этом разложение по степеням р, q совпадает с таковым для Т0 до членов третьего порядка включительно;
d) окружность р = 1 является для преобразования Т*. инвариантной кривой; при преобразовании Tk все точки этой окружности передвигаются вдоль нее на угол, равный а + с < 27т;
e) при к = 0, Tk приводится к преобразованию Т0, инвариантными
точками которого являются начало координат и все точки окружное-ти р = < 1.
О существовании областей неустойчивости в динамике
333
§ 10. Докажем теперь два других свойства вспомогательного преобразования Г*, а именно:
f) Т& поворачивает радиальные направления налево от этих направлений по крайней мере при очень маленьких к;
