Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Регулярная и хаотическая динамика. Том 8" -> 121

Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.

Козлов В.В., Борисов А.В., Данилов Ю.А. Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 — НИЦ РХД, 1999. — 407 c.
Скачать (прямая ссылка): regulyarnayaihaoticheskayadinamika1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 147 >> Следующая

§ 3. С другой стороны, если нам дано преобразование Г, обладающее вышеупомянутыми свойствами, то всегда существуют соответствующие этому преобразованию динамические системы вида (1), для которых Н будет функцией класса С^,1 если не аналитической(х).
§ 4. Предположим теперь, что периодическое движение р = q = О будет общего устойчивого типа. В этом случае характеристическое уравнение
но выражающие координаты р и q в функции от f, будут в этом случае тригонометрического типа.
При помощи преобразования Т мы можем поставить основную проблему устойчивости в следующей форме: будем повторять бесконечно преобразование Т (или Т-1) и рассмотрим последовательные образы некоторой точки Р, находящейся от инвариантной точки (0, 0) на расстоянии, меньшем S. Всегда ли можно выбрать S настолько малым, чтобы все эти образы лежали на расстоянии, меньшем е > 0 от этой точки, где е — произвольно заданное, сколь угодно малое число? Если это так, то движение будет устойчивым в строгом смысле этого слова. До сих пор эта весьма трудная проблема еще не разрешена во всей своей общности.
pi = <р{р, q), qi = Ф(р, q)-
(2)
dpidqi _ dpi dqi dp dq dq dp
(3)
A2
(0,0) , д'ф(0,0) \
\ dp + dq J
A + 1 = 0
(4)
будет иметь два комплексных сопряженных корня
1гГо есть функция Н и все ее частные производные (любого порядка) непрерывны.
О существовании областей неустойчивости в динамике
329
Как отметил еще Пуанкаре1, для того, чтобы в каком-нибудь данном случае имелась устойчивость в указанном выше смысле, необходимо и достаточно, чтобы вокруг инвариантной точки существовали инвариантные кривые2 сколь угодно малого диаметра. В этом случае мы можем, очевидно, найти бесконечную последовательность /1,/2, ... инвариантных кривых, сходящуюся к этой точке.
§ 5. Я показал (см. цитированную уже статью в «Acta Mathematica», что применением формальных рядов можно всегда привести преобразование Т к нормальному виду:
где, вообще говоря, m = 1, с ф 0.
В интегрируемом случае ряды р, q будут сходящимися и мы будем иметь аналитическое семейство инвариантных кривых /, а именно кривых р2 + q2 = const. Это, следовательно, будет простым примером случая, когда имеется устойчивость в строгом смысле слова.
§ 6. Мною был изучен также вид инвариантных кривых в общем неинтегрируемом случае при единственном предположении, что с ф 0. При подходящем выборе координат р, q будет существовать круг с центром в начале координат, такой, что внутри этого круга преобразование Т вращает каждое радиальное направление влево или вправо, в зависимости от того, будет ли с > 0 или с < 0, тогда как обратное преобразование Т-1 поворачивает эти векторы в противоположном направлении. Рассматривая только внутренность такого круга, я доказал, между прочим, следующие факты:
1. Всякая инвариантная кривая / выражается уравнением вида г = /($) > 0 (г, $ — полярные координаты), где /($) есть непрерывная периодическая функция от $ периода 27т, и при этом такая, что отношение
ограничено для всех $1, $2-
2. Всякой инвариантной кривой соответствует некоторый коэффициент вращения т, дающий в известном смысле среднее приращение, которое получает угловая координата $ точек (г, $) этой кривой при
Р! —рcos [a + с(р2 + q2)m] - qsin [а + с(р2 + q2)m] , рГ = psin [а + с(р2 + g2)m] + geos [а + с(р2 + g2)m] ,
/№)-/№) #1 - $2
¦'^Methodes nouvelles de la mecanique celeste, т. Ill, стр. 149 151.
2Кривыми мы называем границы односвязного открытого множества.
330
Приложения
преобразовании Т.1 Если с > О2, то инвариантная кривая Д, будет содержать внутри себя инвариантную кривую Д при п > 72, и, наоборот, если /2 находится внутри кривой Д, то будем иметь п > т2.
3. Один и тот же коэффициент г не может принадлежать двум различным кривым Д и Д, за исключением того случая, когда г = где т и п — целые числа. В этом случае кривые, соответствующие этому значению т, будут обязательно иметь одну или несколько общих точек; эти общие точки будут инвариантными относительно преобразования Тп, и приращение •& для них при этом преобразовании будет равно 2ш7г.
4.3 Всякая кривая, принадлежащая значению ^‘™7Г коэффициента вращения, будет или сама аналитической, или состоять из конечного числа дуг, аналитических во всех точках, за исключением, может быть, своих концов, где они, однако, остаются класса С ж- Эти концы аналитических дуг представляют собою инвариантные точки неустойчивого типа относительно преобразования Тп; точки аналитической дуги при итерации преобразования Тп стремятся асимптотически к одному из этих концов (а при итерации Т~п к другому).
5. Совокупность инвариантных кривых / и совокупность их коэффициентов вращения г замкнуты и содержат всегда соответственно инвариантную кривую г = 0 и ее коэффициент вращения г = <т.
§ 7. Как мы видим, могут представиться разные случаи: а) не существует инвариантных кривых /, кроме кривой г = 0; Ь) такие кривые существуют, и соответствующие значения коэффициентов т заполняют некоторый интервал (<т, /х); и, наконец, с) такие кривые существуют, но их коэффициенты вращения не заполняют интервала.
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed