Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
g) в круге р <С 1 преобразование Т% (к ф 0) имеет еще только две инвариантные точки, кроме начала координат. Эти инвариантные точки простые и изменяются аналитически с изменением к. При к = 0
они приводятся к точкам 0^, 7Г^ (в полярных координатах);
первая из этих точек устойчивого, а вторая — неустойчивого типа.
Для того, чтобы доказать утверждение /, заметим, что при малых к радиальные направления поворачиваются указанным образом по крайней мере для точек, близких к началу координат, потому что разложения j?i, qi в ряды по степеням]?, q имеют члены не выше четвертой степени, не зависящие от &, и изменяются как аналитические функции от к. С другой стороны, угол, на который поворачивается радиальное направление влево, будет аналитической функцией от р, д, исключая начало координат; эта функция положительна при к = 0 (за исключением начала координат) и, следовательно, будет положительной вне некоторого круга р = S > 0 при достаточно малых к.
Для доказательства утверждения (g) нужно рассмотреть инвариантные точки преобразования Тк. Очевидно, что такие точки при малых к могут существовать только в окрестности точки р = 0 или окружности р = — ^7, дающих инвариантные точки преобразования Т0. Точка р — 0 является «простой» инвариантной точкой преобразования То. Следовательно, при малых к всякая инвариантная точка преобразования Т/g, лежащая в окрестности точки р — 0, получается посредством аналитической вариации из начала координат. Но так как начало координат само есть инвариантная точка преобразования Т& при всяком к, то отсюда следует, что Т& не имеет никаких других инвариантных точек в окрестности начала координат, кроме самого начала.
Для того, чтобы рассмотреть другие инвариантные точки, мы применим видоизмененные полярные координаты р, 'д. Преобразование Т& может быть записано в этих координатах в виде:
Pi — р + 2&-тгу (р, д + <j + ср) + ... ,
о* (10)
#1 = $ + а + ср - 2k-Q^ip, $ + о- + ср) + ... ,
где
и*(р, 1?) = и(р, q).
334
Приложения
В инвариантной точке имеем pi = р, $i = $, т. е.
Я?/*
— (р, 1? + 67 + ср) + + ... = О,
а + ср - 2fc^- (р, $ + а + ср) + &2i?i + ... = О,
(П)
где Лх, Лг, ... , В\, В2, ... суть аналитические функции от р и $, периодические периода 27т относительно кроме того эти ряды сходятся равномерно для тех значений р и $, которые мы здесь рассматриваем (т.е.(К<Кр^1,1? произвольно).
Но при нашем выборе функции и имеем:
Следовательно, первое из уравнений (11) показывает нам, что для всякого значения р, близкого к — существуют два соответствующих значения $, удовлетворяющих этому уравнению, одно из которых близко к нулю, а другое — к 7г:
$ = -о- - ср + kfi(p) + ... , = 7Г - а - ср + kgi(p) + ... (12)
Здесь /i, /2, ... , gi, #2, • * • суть аналитические функции р.
Подставляя эти значения $ во второе уравнение (11), мы получим два уравнения, имеющих следующий вид:
где Ci, Сг, ... , X>i, Х>2? • • • — аналитические функция от р.
Из этих уравнений получаем соответственные значения р' и р" координаты р:
Здесь коэффициенты Е1, Е2, ... , Fi, F2? • • • — постоянные числа.
Следовательно, для к ф 0 и малых р существуют как раз две инвариантные точки, отличные от начала координат, которые изменяются аналитически с изменением к и приводятся при к — 0 к
и* (р, $) = — (1 — р)2р!'2 cos д.
67 + ср + &Cl (р) + . . . — О 67 + ср + kDi (р) + ... = 0.
(13)
(14)
и
—, 7г 1 соответственно.
О существовании областей неустойчивости в динамике
335
Остается рассмотреть характеристические уравнения этих двух инвариантных точек. Если мы положим & > 0, то первое уравнение, которое можно написать в виде
А2 -2
А + 1 = 0(4
будет иметь два вещественных корня Х[ < 1 и А'/ > 1. Соответственная инвариантная точка будет, следовательно, простой и формально неустойчивой. Второе уравнение будет иметь следующий вид:
X2 -2
А + 1 = 0.
Это уравнение имеет два комплексных сопряженных корня. Соответственная инвариантная точка будет также простой, но устойчивой с формальной точки зрения, во всяком случае, если мы выберем к таким образом, что эти корни не будут корнями п-й степени из единицы.
Следовательно, определенное таким образом преобразование Tk будет обладать всеми указанными свойствами.
§ 11. Но при малых к Tk имеет по крайней мере две инвариантные кривые, а именно, р = 0 и р = 1, с коэффициентами вращения а и а + с соответственно. Следовательно, или существует система промежуточных инвариантных кривых, соответствующих всем числам интервала <т ^ т ^ <т + с, или же существуют кольцеобразные зоны неустойчивости, что нам требуется доказать. Нам остается, следовательно, рассмотреть только первую возможность. В этом случае должна существовать по крайней мере одна инвариантная кривая /о, соответствующая промежуточному значению т = 0; эта кривая будет обязательно содержать простую инвариантную точку неустойчивого типа.
Я утверждаю, что не может существовать только одна кривая этого рода.
В противном случае эта кривая содержала бы две из асимптотических ветвей, исходящих из неустойчивой точки, и мы имели бы одну из двух возможностей, показанных на рис. 15.
