Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
При изменении t от 0 до 27т всякая точка (р, д, 0) на плоскости t = 0 переходит в точку (pi, gi, ti) на плоскости t = где (pi, gi) есть образ точки (р, д) при преобразовании Tt* . Мы видим, следовательно, что всякая точка описывает траекторию, которая начинается в точке (р, д, 0) и кончается в точке (pi, gi, 27г), где (pi, gi) получается из (р, д) посредством преобразования Т*. Совокупность всех этих траекторий заполняет цилиндрическую область р ^ 1 между двумя плоскостями t — 0 и t — 27г, и направление единственной траектории, проходящей через любую точку (р, д, ?), определяется дифференциальными уравнениями:
^ = <Р(Р, Я, t), ^ = ф(р, q, t), (15)
где (р и ф будут класса С ж относительно р, g и ?, но не будут обязательно периодическими периода 27т относительно t. Очевидно, что ось ? будет сама такой траекторией, и что, следовательно,
(р(о, о, t) = z/>(o, о? 0 = о.
Так как преобразование Т* сохраняет площади при всех значениях ?, очевидно, что состоящая из траекторий трубчатая область с площадью одного из оснований da будет в пересечении со всякой плоскостью t = const давать площадку той же величины da. Следовательно,
О существовании областей неустойчивости в динамике
339
объем элементарного цилиндра с площадью основания da и высотою dt будет всегда dadt. Отсюда следует, что поток жидкости, определенный дифференциальными уравнениями (15), т.е. уравнениями
% = <р(р,9,т), g= Ф(Р,9,Т), § = 1,
сохраняет объем.
По обычному правилу мы имеем, следовательно,
Q, Я,*) = °- (16)
Но уравнение (16) показывает, что существует функция Н(р, g, t) класса Сос относительно р, g, t такая, что
г(г, 9,0 = ф(р, f) = ШълА.
Эта функция становится полностью определенной, если прибавить условие Н(О, 0, t) = 0.
Следовательно, уравнения (15) имеют гамильтонову форму
dp _ дН( dq _ дН (
dt ~ dq(р’ Ql ^ dt ~ др(р’ ъ ^
где функция Н вообще не будет периодической относительно ?.
Мы постараемся теперь найти другую функцию Н(р, д, ?), аналитическую относительно р, g,?, которая была бы приблизительно равна Н(р, д, ?), и при этом такую, что соответствующее аналитическое
преобразование Т обладало бы также и другими свойствами преобра-
зования Г*, важными нам для той цели, которую мы имеем в виду.
§ 15. Эти свойства суть в существенном следующие:
a) окружность р = 1 является инвариантной кривой преобразования Т;
b) точка р — 0 является устойчивой инвариантной точкой для Т; в разложениях pi, qi в ряды по ру q в окрестности этой точки для обоих преобразований совпадают члены до четвертого порядка включительно.
В самом деле, такое преобразование Т будет иметь две простые инвариантные точки, близкие к таким же точкам преобразования Т*, с почти теми же асимптотическими ветвями, которые, следовательно, пересекутся. С другой стороны, преобразование Т будет вращать налево радиальные направления как в окрестности инвариантной точки
340
Приложения
[вследствие свойства (Ь)], так и на достаточно большом расстоянии от нее (благодаря тому, что Т мало отличается от Т*.
Для того, чтобы найти такую функцию Н, заметим, что на цилиндре р = 1
дН ОН п
Ps^-9W = 0-
В самом деле, из равенства р2 + q2 = 1 в какой-нибудь момент следует то же равенство при всех t. Следовательно,
d / 2,2 1 \ о ( I \ п
Но это равенство требует, чтобы Н приводилось на поверхности цилиндра к функции одного только t, так что мы можем написать:
Н(р, q, t) = Я( 1, 0, t) + (р2 + q2 - 1 )J(p, q, t),
где J(p, g, t) принадлежит к классу C^. Кроме того разложение J(p, g, t) в степенной ряд до членов четвертого порядка определяет такое же разложение Н(р, g, f); заметим, что J, как и Н, является аналитической функцией всюду, за исключением окружности 7. Кроме того, так как линия р = q = 0 является траекторией, частные производные первого порядка функции Н пор и g тождественно обращаются в нуль в этой точке и тем же свойством обладает функция J.
Выберем теперь (если возможно) функцию J, мало отличающуюся от J, аналитическую пор, g, t и имеющую то же разложение, что и J, до членов третьего порядка включительно. Рассмотрим соответственную функцию Н:
Я = Я(1, 0, ?) + (р2 + <?2 - 1 )J(p, q, t)
и определяемые ею гамильтоновы уравнения. Мы тотчас же видим, что соответствующее преобразование Т будет обладать всеми требуемыми свойствами, в частности, свойствами (а) и (Ь).
Допуская временно без доказательства почти очевидный факт существования такой функции J мы видим, что существуют кольцеобразные зоны неустойчивости для аналитических преобразований.
Для того, чтобы обойти трудности, возникающие при этом способе рассуждения, мы допустим, что все частные производные J до четвертого порядка включительно, весьма мало отличаются от соответственных производных J; мы докажем существование такой функции J
О существовании областей неустойчивости в динамике
341
позднее (§17). Очевидно, что при этих условиях всякое радиальное направление будет вращаться налево при преобразовании Т. так же как и при Т.
§ 16. В гамильтоновых уравнениях, соответствующих этой функции Н при 0 ^ t ^ 27г, мы можем определить Н и вне этих пределов так, чтобы Н была периодической функцией от t. Разумеется, эта функция Н не будет ни обязательно аналитической, ни даже непрерывной при t — О, ±27г, ... Предположим теперь, что мы произвели в направлении оси t деформацию, выражающуюся уравнением:
