Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
1\ и 12 обозначают соответственно неустойчивую и устойчивую инвариантную точку; асимптотическая кривая /0 встречает всякий луч, исходящий из начала координат, в одной точке, и направление движения точек этой кривой показано на рисунке стрелками; в самом деле, около точки Ii всякое радиальное направление поворачивается налево. Но в рассматриваемом случае инвариантные кривые / при стремлении коэффициента т к нулю должны приближаться равномерно к /о, что невозможно, потому что такая инвариантная кривая не может пересекать две свободные асимптотические ветви, исходящие на точки I.
336
Приложения
Р= 1
р=1
р=1
Рис. 16
В этих условиях, очевидно, остается только одна возможность, а, именно, мы будем иметь две инвариантные асимптотические кривые /i и /2, образуемые четырьмя асимптотическими ветвями, исходящими из Ji и совпадающими попарно. Этот случай изображен на рис. 16.
Можно было бы надеяться доказать непосредственным вычислением невозможность этого предположения. В самом деле, представляется почти невероятным, чтобы эти ветви совпали указанным выше образом. Однако такое вычисление, по-видимому, было бы сложным, и я предпочитаю обойти трудности этого вычисления способом, изложенным в следующем параграфе.
§ 12. Мы предположим сперва, что Т* имеет две инвариантные кривые, подобные тем, которые изображены на рис. 16.
Рассмотрим теперь сложное преобразование Т? = TftS, где S определяется как тождественное преобразование вне малой окружности 7 около некоторой точки р на внешней асимптотической ветви (рис. 17). Внутри 7 S есть вращение вокруг р на переменный, но малый угол, обращающийся в нуль в центре и на окружности круга 7. Очевидно, можно выбрать преобразование S класса Сое таким образом, что S будет вращать радиальные направления налево на сколь угодно малый угол. Кроме того S будет сохранять площади. Сложное преобразование Т? будет обладать подобными же свойствами.
Но такое преобразование Т* класса С^ будет обладать всегда
О существовании областей неустойчивости в динамике
337
асимптотическими ветвями класса как в случае аналитического преобразования, с той только очевидной разницей, что эти ветви будут класса <7оо, но не обязательно аналитическими1. В рассматриваемом случае мы можем даже найти эти ветви непосредственно. В самом деле, эти ветви будут одинаковыми для Т* и для Т в окрестности инвариантной точки Д. При последовательных итерациях преобразования Т* верхняя часть внешней ветви продолжается тем же способом, что и для Т, во всяком случае до точки А, где эта ветвь встречает окружность 7. Но если мы повторим преобразование Т* еще один раз, то мы должны произвести сначала преобразование Т, которое продолжит нашу ветвь до Л1, и затем S, которое преобразует дугу АВ внутри круга, превратив ее в новую, которая пересечет АВ только один раз.
С другой стороны, последовательными итерациями преобразования Т*-1 = S-1Tfe-1 можно продолжить таким же образом нижнюю часть внешней ветви до точки В, где эта ветвь встречает 7. Если мы теперь повторим еще раз Т*-1, то мы должны начать с преобразования S'-1, которое не изменит уже имеющуюся часть кривой, и произвести затем преобразование Т-1, которое распространит ее до точки В-i = Т~1(В) вдоль той же асимптотической кривой, что и Т.
Следовательно, обе внешние асимптотические ветви преобразования Т* пересекаются в точке Р.
§ 13. Это преобразование Т* обладает всеми упомянутыми свойствами преобразования Т, с единственным исключением, что нужно заменить условия аналитичности условием принадлежности к классу Сос. Однако для этого преобразования асимптотические ветви не совпадают попарно.
Следовательно, для таких преобразований класса С^ существуют кольцеобразные зоны неустойчивости.
§ 14. Мы покажем теперь, что то же заключение остается справедливым и для аналитических преобразований.
Заметим, что мы можем построить преобразования То,*, Rk,t, St, обладающие следующими свойствами:
a) при t — 0 эти преобразования обращаются в тождественные, а при t — 27Г в То, Rk, S соответственно;
b) эти преобразования прямые, однозначные, класса Соо относительно р, q, t и при этом аналитические относительно ?, и сохраняют площади при всех к;
c) они оставляют инвариантными начало координат р = 0 и окружность р = 1 при любом к.
1Я говорю здесь только о простой инвариантной точке неустойчивого типа. См. мою уже цитированную статью в §33-41.
338
Приложения
В самом деле, мы можем определить преобразование T0^t следующими формулами:
Р1=Р, &1='&+(<т + ср)^.
Это преобразование, очевидно, будет обладать всеми тремя указанными свойствами. Подобным же образом мы можем определить Rk^t слегка видоизмененными уравнениями (1):
Pl =p+Midu(P, gi) +Ыди(р, Ql)
Pl Р+ 2w dQl ’ q qi + 2tt dp ’
с той же функцией w(p, g). Что касается St, то мы определим его так же, как 5, но уменьшив вращение в круге 7 в отношении t : 27г.
Сложное преобразование Т? = To}fi2*}fSi будет тогда также обладать свойствами (а), (Ь), (с) (причем, разумеется,
Применим теперь геометрическую интерпретацию, а, именно, будем рассматривать переменные р, g, t как прямоугольные координаты точки в пространстве.
