Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
t = x{t)-
Обратную функцию Х_1(?) мы будем считать класса С ос и возрастающей от 0 до 27г вместе с ?, так что ^ положительно всюду, кроме
dt
точек t = 0 и t = 27г, где все производные обращаются одновременно в нуль. После этого преобразования новые траектории будут иметь направления, параллельные оси t на обеих крайних плоскостях t — О и t — 27г, и мы видим, что эти траектории будут всюду класса С^. С этой новой независимой переменной дифференциальные уравнения сохраняют свою гамильтонову форму с новой главной функцией
которая будет, очевидно, класса С^ относительно р, д, ?, периодической по t периода 27т и аналитической всюду, за исключением точек t — 0, ±27г, ..., если мы выберем за функцию х_1(?) функцию, аналитическую всюду в промежутке (0, 27т), кроме точек t — 0 и t — 2к. Это изменение независимой переменной не влияет на преобразование Т, связанное с первоначальными дифференциальными уравнениями.
Следовательно, кольцеобразные зоны неустойчивости существуют для динамических систем (1) с функцией Н класса С^ всюду и аналитической всюду, кроме? может быть? точек t — 0, ±27г, ... ? и с функцией Т аналитической.
С первого взгляда можно было бы подумать, что небольшая дополнительная модификация позволила бы нам найти функцию Н всюду аналитическую, но тут имеется затруднение, возникающее благодаря тому, что разложение функции Н по степеням переменных р, q содержит неаналитические коэффициенты, которые должны быть модифицированы. Тем не менее, я думаю, что этот метод можно действительно применить и, следовательно, можно найти функцию iif, которая была бы всюду аналитической. Однако я этого еще не доказал.
342
Приложения
Во всяком случае, с точки зрения приложений представляется интересным как раз случай функции Н класса С^,
§ 17. Чтобы закончить доказательство, нам осталось доказать еще следующую простую лемму.
Пусть мы имеем функцию
f(x 1, ... , xn,t) класса С00, определенную при
а ^ Xi ^ b (i = 1, ... , п), —6^Ь^2тг-\-6
и обращающуюся в нуль вместе со всеми своими частными производными до (к — 1)-го порядка включительно при х\ = х2 = ... = хп = 0. Можно тогда найти функцию g(xi, ... , хп, ?), аналитическую относительно a?i, ... , жп, ?, обладающую теми же свойствами, и при этом такую, что функция f — g и все ее частные производные до (к — 1)-го порядка включительно будут сколь угодно малы в этой области.
В самом деле, если мы вычтем из J полином Р, дающий разложение J по степеням р, q до членов четвертого порядка включительно, мы получим функцию J*, к которой можно будет применить только что высказанную лемму. Полученное таким образом аналитическое приближение К к J* (с п = 3, к = 5) дает нам искомое аналитическое приближение К + Р к функции J.
Остается только доказать лемму.
Заметим, что эта лемма справедлива при п = 0, потому что можно найти аналитическую функцию, отличающуюся сколь угодно мало от данной функции f(t) класса С^, лемма справедлива также при к = 0.
Следовательно, если лемма не будет справедлива вообще (при любых п и &), то найдется наименьшее п > 0 и затем наименьшее к > 0, при которых лемма не будет справедлива (для некоторой функции /). Но такую функцию / мы можем написать в виде:
/(ж 1, ... ,Xn,t)= f(x 1, , Хп-!, 0, t) +xnf1(x1, ... , хп, t),
где первый член является функцией от п — 1 переменной тогда как второй содержит функцию /i(a?i, ... , жп, t) класса С^, обращающуюся при х\ — ... = хп = 0 в нуль вместе со своими частными производными по жх, ... , хп до (к — 2)-го порядка включительно. Следовательно, применяя последовательно два раза доказываемую лемму к этим двум функциям, мы найдем аналитическое приближение g(xi, ... , a?n_i, t) к f(xi, ... , жп_1, 0, t) и аналитическое приближение gi(xi, ... , жп, ?) к Д; но тогда
#(Ж1, ... ,Xn,t)= g(Xi, ... , Хп-1, t) + xngiix!, ... ,Xn, t),
дает нам искомое аналитическое приближение к f(xi, ... , хп, t).
Доказательство эргодической теоремы1
Пусть
^ = Xi(x 1, хп) (г = 1, , п)
является системой п дифференциальных уравнений, заданных на замкнутом аналитическом многообразии М, обладающем инвариантной формой объема и подчиненных ограничениям, упомянутым в предыдущей работе, исключая предположение о сильной транзитивности. Установим сначала, что без этого предположения
lim NP = г(р) (17)
п—too
для всех точек Р на поверхности а с точностью до точек множества меры 0. Другими словами, существует «среднее время т(Р) пересечения» поверхности а для траектории общего положения.
Доказательство «эргодической теоремы» о том, что существует временная вероятность р такая, что точка Р траектории общего положения лежит в заданном объеме v многообразия М, имеет параллели с вышеуказанной теоремой о возвращении, как будет видно в дальнейшем.
Новая важная работа фон Неймана показывает только сходимость в среднем. Справедливость (17), для любой точки Р им не доказана и временная вероятность для любой траектории, в обычном смысле, не установлена. Непосредственное доказательство результатов фон Неймана было получено Е. Хопфом.
Наш подход будет основываться на следующей лемме:
