Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Эта теорема возвращения допускает некоторые явные обобщения. Во-первых, нет необходимости ограничиваться аналитическим случаем. Более того, вместо одной поверхности а можно взять любое измеримое множество <т*, вложенное в счетное множество различных простых элементов поверхности с г?cos# > d > 0. В этом случае t*(P) обозначает время от Р на сг* до первого последующего пересечения <т*.
Для того, чтобы доказать «эргодическую теорему», заметим сначала, что можно найти множество сг*, пересекающее каждую траекторию, за исключением соответствующих равновесию и любых других с полной мерой 0. Это возможно, так как можно найти счетное множество различных простых элементов сгь сг2, ... поверхности с г;cos# > d > 0, которые пересекают каждую траекторию, не соответствующую равновесию. Если определить как предел
^1 + <^12 + СГ12з + . . . + CTl...ki
где сг12 обозначает множество точек Р из сг2 вне траектории, пересекающей стх, сг123 обозначает множество точек сг3 вне траектории, пересекающей (Т\ или сг2 и так далее, то сг*. будет иметь надлежащие свойства.
Пусть теперь v обозначает любой «измеримый» объем в многообразии М, и пусть i(P) обозначает интервал времени, в течение которого точка на траектории, исходящей из Р на таком множестве сг*, лежит в v до тех пор, пока не достигнута точка Т(Р) из <т*. Следовательно, t(P) ^ t(P) во всех случаях. Кроме того, tn(P) удовлетворяет тому же функциональному уравнению, что и t(P)
tn(P) = цтп~1(Р)) +in.1(P).
Таким образом, то же самое рассуждение, как и раньше, применимо для того, чтобы показать, что, за исключением множества точек Р с мерой 0,
in(P)
348
Приложения
где т(Р) ^ т(Р); тогда как, очевидно,
Делаем вывод, что справедлива следующая «эргодическая теорема»:
Для любой динамической системы типа (17) существует определенная «временная вероятность» р того, что любая движущаяся точка, за исключением точек множества меры 0? будет лежать в области v; т. е. существует
где t обозначает полное пройденное время, измеряемое от неподвижной точки, ut — полное пройденное время в v.
Для сильно транзитивных систем р является отношением объема v
Конечно, идея приведенного доказательства содержится в лемме. Необходимо отметить отвлеченный характер этой леммы, так как она показывает, что вышеупомянутая теорема сразу же обобщается на случай функционального пространства при подходящих ограничениях.
Очевидно, что т(Р) и т(Р), как определено выше, удовлетворяют функциональным соотношениям следующего типа:
где интеграл в левой части представляет собой интеграл Стилтьеса, m(S\) — мера S\.
к V.
Что такое эргодическая теорема?1
Интеграл Лебега (1901), основанный на борелевской мере, в течение этого столетия был основным инструментом в замечательных достижениях анализа. По-видимому, эргодической теореме суждено занять центральное место в этом развитии. Действительно, в недавней статье Уинер и Уинтнер2 отзываются о ней как о «единственном результате, установленным для решений динамических систем».
Чтобы понять теорему и природу ее применения, необходимо прежде всего упомянуть меру (Бореля-Лебега), то есть «вероятность» в смысле схематически описанном Пуанкаре в третьем томе его «Новых методов в небесной механике». Ограничимся случаем отрезка прямой единичной длины с координатой ж, 0 ^ ж ^ 1. Предположим, что имеется конечное множество непересекающихся интервалов общей длины I < 1. Вероятность (в определенном интуитивном смысле) того, что точка, взятая наугад, лежит на одном из этих интервалов, равняется /, а вероятность того, что она лежит в дополнении этого множества, очевидно, 1 — 1.
Предположим теперь, что имеется точечное множество М содержащее бесконечное количество точек, которое может быть заключено внутри бесконечного множества непересекающихся интервалов с длинами Ji, /2, • • • общей длины
/1 + Н- Н- • • • = I < 1*
Тогда ясно, что вероятность того, что точка, взятая наугад, лежит в М, не может превосходить /; а вероятность того, что она лежит в дополнительном множестве, по крайней мере, не меньше 1 — 1. Если сейчас М такой природы, что оно может быть заключено в бесконечном множестве интервалов общей длины, не превышающей произвольно малое
1«What is Ergodic Theorem?» G. D. Birkhoff, Amer. Math. Mo., Vol. 49, 1942 pp. 222-226.
2K вопросу об эргодической динамике почти периодических систем, American Journal of Mathematics, Vol. 63, 1941. Для представления о литературе смотрите работу Эберхарда Хопфа «Эргодическая теорема», Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Berlin, Springer, 1937. Мы рассматриваем только «Эргодическую Теорему», а совсем не «Эргодическую Теорему Среднего» фон Неймана, которая побудила пересмотреть некоторые старые идеи, и привела к открытию и доказательству эргодической теоремы, включающей сильный, точный результат, который, насколько нам известно, никогда и не надеялись получить.
350
Приложения
значение е, очевидно, что вероятность попадания случайной точки в М не превышает е, то есть вероятность равна нулю. Такое множество М называется множеством меры 0.
