Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
периодических решений. В первом из них > 0;
с* ? Скп_и 0<fc<n-l,
(8.22)
(8.23)
229
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
оба мультипликатора вещественны. Это решение называется
гиперболическим',; оно неустойчиво. Для второго типа < 0; оба
мультипликатора лежат на единичной окружности. Это - эллиптическое
решение; оно устойчиво в линейном приближении. Соотношение (8.23)
показывает, что при малых значениях &~Ф 0 из семейства периодических
решений, лежащих на резонансном невозмущенном торе, рождается четное
число невырожденных периодических решений, причем половина из них
эллиптична, а половина гиперболична. Этот факт вытекает из того
обстоятельства, что локальные минимумы и максимумы периодической функции
одного переменного чередуются между собой. Обычно говорят, что при
разрушении резонансного инвариантного тора рождаются пары изолированных
периодических решений.
Согласно результатам КАМ-теории, траектории типичных эллиптических
периодических решений окружены инвариантными торами. Гиперболические
периодические решения имеют две инвариантные поверхности (сепаратрисы),
заполненные решениями, асимптотически приближающимися к периодической
траектории при t -" +оо или I -* -оо. Различные асимптотические
поверхности могут пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную
сеть. Поведение асимптотических поверхностей будет подробно обсуждаться в
следующей главе.
Картина траекторий возмущенной задачи изображена на рис. 16. Более точно,
на фиксированном трехмерном уровне интеграла энергии взята секущая
двумерная поверхность. На рис. 16 изображены инвариантные кривые
отображения последования. Изолированным точкам соответствуют
невырожденные периодические траектории, а замкнутым крТтвым, близким к
концентрическим окружностям,- Рис. 16
колмогоровские торы.
8. Теорема 5 обобщается на гамильтоновы системы с гамильтонианом
Я = Н0(и) + еН1(и) + ... + ek~l Hk~\{u) + екНк(и, v) + о(ек). (8.24)
Системы такого вида появляются в результате применения ко-
230
§ 8. Рождение изолированных периодических решений
нечного числа шагов классической схемы теории возмущений к гамильтоновой
системе с функцией Гамильтона (8.13) (см., например, § 4).
Предположим, что инвариантный тор {и = и0, v mod 2ж) невозмущенной задачи
заполнен периодическими траекториями. Пусть h - функция на (п - 1)-мерном
торе, которая получается в результате усреднения функции Нк(и°,т) по
траекториям невозмущенной задачи. Можно показать, что, если при и = и0
выполнены условия (8.15), и критические точки функции h невырождены, то
возмущенная система при малых г ф 0 имеет по меньшей мере 2" 1 различных
невырожденных периодических решений того же периода, аналитических по е.
Их характеристические показатели имеют асимптотику а = а0(^/?)к +
о((^?)к) (ао ф 0).
Укажем, следуя работе [160], одно из возможных применений этого
результата. Рассмотрим систему с двумя степенями свободы следующего вида
(см. § 4):
Н = Н0(у) + еН1(х), Я0=^ aijyiVj, a,j = const. (8.25)
Если возмущающая функция Нх является тригонометрическим многочленом, то
теорема 5 дает лишь конечное число невырожденных семейств периодических
решений, аналитических по е. Применение канонических преобразований
теории возмущений позволяет увеличить число таких семейств.
Предположим, что квадратичная форма Но положительно определена. Положим
Hi =^2 hm ехр[г'(т, х )], А = {т е Z2 : hm ф 0}. "Внутреннее" скалярное
произведение, порождаемое формой #о, обозначим ( , ).
Теорема 6. Пусть а. ,3 -вершины множества Д, удовлетворяющие условиям
теоремы 2 из § 5, а ;у° ф 0 - точка из К2, расположенная на одной из
прямых (ка у 3, у) - 0 (к = 0,1, 2,...), причем компоненты целочисленного
вектора ка + (3 взаимно просты. Тогда по крайней мере два периодических
решения на резонансном торе у = у° ф 0 невозмущенной задачи при
возмущении переходят в изоэнергетически невырожденные периодические
решения гамильтоновой системы с тем же периодом.
Идея доказательства теоремы 6 заключается в следующем. Выполним
каноническое преобразование х, у -" u,v по формулам хя = = dS/dye, v, =
dS/dUf (s =1,2), S = S0 + eSi + ... + ?k~1Sk-i, где S\...., Sk_i
удовлетворяют первым k - 1 уравнениям бесконечной системы (4.4). В
результате такого преобразования функция Гамильтона Но(у) + еН\(х) будет
иметь вид (8.24). Предположим, что точка и0 ф 0 лежит на одной из прямых
(щ ka + (3) = 0 (к =
231
Глава IV. Неитпегр-ируемослпь гам (ымпоновых систем.
= 0,1,...), причем компоненты вектора ка + /3 ? Z2 взаимно просты.
Положим
Нк = h*rn{v) ехр[г(;л, с)]. (8.26)
Несложно показать, что найдется единственный целочисленный вектор т = (ть
т2), т2 > 0, для которого: a) h'T(u°) ф 0; б) (и°, т) = = 0.
Теперь можно воспользоваться обобщенной теоремой 5. Действительно, из
разложения (8.26) получаем /г(Л) = Y2 hT(v°)elTiX =
(и°,г)= 0
= h0 + hTe%nX + hTe~lT2>'. Ввиду периодичности h, при некоторых двух
значениях Л производная h' обращается в ноль. Покажем, что h" ф ф 0. Если
