Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
действительности, она даже не является суммируемой на отрезке [0, 27г]).
Таким образом, при / ф const система с гамильтонианом (7.2) не имеет
дополнительного полиномиального интеграла.
3. Результаты § 5 позволяют доказать неинтегрируемость некоторых
других известных гамильтоновых систем. В качестве примера рассмотрим
систему с двумя степенями свободы и функцией Г амильтона
Н = 7j(yi+y2) + a[f(xl-X2) + f{xi+X2)} + PYlf(Xi')+7Ylf('2Xi') '
Здесь / - периодическая функция; а,/3,7 = const. В работе М. А.
Олынанецкого и А. М. Переломова [223] установлена полная интегрируемость
многомерных систем такого вида, если / является р-функцией Вейерштрасса
(или ее вырожденными случаями).
Рассмотрим сначала случай, когда потенциал / - тригонометрический
многочлен. Оказывается, критерием интегрируемости является выполнение
равенства
а(/32 + 72) = 0. (7.5)
Действительно, при у ф 0 выпуклая оболочка множества Д - квадрат,
изображенный на рис. 15. При а ф 0 середины сторон квадрата являются
точками из Д. В этом случае следствие 2 теоремы 1 § 5 гарантирует
отсутствие дополнительного полиномиального по импульсам интеграла с
периодическими коэффициентами. Пусть 7 = 0 и а(3 ф 0. Тогда выпуклая
оболочка Д совпадает с внутренним квадратом, изображенным на рис. 15. При
а ф 0 середины его сторон принадлежат Д, поэтому снова применимо
следствие 2 теоремы 1 из § 5.
В общем случае, когда "потенциал'' / является произвольной четной
аналитической функцией, критерием интегрируемости также является
равенство (7.5). Доказательство проводится методом, приведенным в п. 2.
218
§ 8. Рождение изолированных периодических решений
§ 8. Рождение изолированных периодических решений как препятствие к
интегрируемости
1. Пусть 7 - замкнутая траектория периодического решения автономной
системы дифференциальных уравнений
* = ф), (8.1)
заданной на (т+ 1)-мерном многообразии Мт+1. Через х mod 2ж обозначим
угловую координату на 7, равномерно меняющуюся со временем: х = ш =
const; период равен р = 2ж/ш. Ясно, что малая окрестность 7 в Mm+l
диффеоморфна прямому произведению окружности Т1 = {.т mod 2тт} на
некоторую окрестность нуля m-мерного пространства Rm = {у}. В переменных
х mod 2тг, т/i,..., ут система (8.1) записывается в следующем виде:
х = w + f{x,y) , y=Y(x,y). (8.2)
Правые части 27г-периодичны по х, причем f(x, 0) = 0, У'(.т,0) = 0.
Периодическое решение задается простыми формулами
х = cut + х0 , у = 0 . (8.3)
Введем квадратную матрицу порядка т с периодическими элемен-дУ
тами Q(x) = -- и перепишем систему (8.2) в более удобном виде: ду
у=о
x = (j + f(x,y), y=Qy + g(x,y). (8.4)
Ясно, что g = 0(\у\2).
Согласно теореме Ляпунова - Флоке [47], линейной заменой переменных у с
27Г-периодическими по х коэффициентами можно привести Г2 к постоянной
матрице. Впрочем, этот результат нам в дальнейшем не понадобится.
Линейные дифференциальные уравнения
й=$1(х)и, х = cut + х о (8-5)
называются уравнениями в вариациях периодического решения
(8.3). Пусть Л(t) - решение матричного уравнения
Л = n(t)A (8.6)
с начальным условием Л(0) = Е. Матрица Р = А(р) называется матрицей
монодромии периодического решения (8.3), а ее собственные числа pi,...,pm
- мультипликаторами этого решения. Пусть Л'(1)-решение (8.6) с условием
А;(т) = Е. Тогда A'(t) = = A(t)A~1(r) и РТ = Л'(т + р) = Л(т + р)Л-1(т) =
Л(т)РЛ_1(т). Следовательно, собственные числа матриц Рт и Р совпадают. В
219
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
частности, мультипликаторы периодического решения не зависят от х0.
Так как det Р ф 0, то можно положить Р = ехр(рЛ). Собственные числа
e*i,..., ат матрицы А называются характеристическими показателями
периодического решения (8.3). Они связаны с мультипликаторами
соотношениями р, = ехр(ра.,) и определены с точностью до аддитивных
слагаемых вида гшп (и ? Z).
Периодическое решение называется невырожденным, если все его
мультипликаторы отличны от единицы.
Лемма 1. В малой окрестности траектории 7 невырожденного периодического
решения нет периодических траекторий близкого периода, отличных от 7.
Для доказательства рассмотрим m-мерную площадку П = = {ж, у : х - ж0},
трансверсально секущую 7, и отображение последования F : П -> П, которое
определяется следующим образом. Траектория решения системы (8.2) с
начальными данными ж(0) = = то, 2/(0) = j/о (12/о| мало) снова пересекает
площадку П через промежуток времени, близкий к р, в точке (хо, 2/1).
Положим 2/1 =
OF
= F(yo). Ясно, что F(0) = 0 и - = Р. Периодическим траек-
оу у=0
ториям системы (8.4) отвечают неподвижные точки отображения F. Однако, по
теореме о неявной функции, уравнение Г (у) = у при малых \у\ не имеет
нетривиальных решений ввиду предположения о невырожденности 7.
Замечание. Мультипликаторы периодического решения часто определяются по-
другому (см., например, [146, гл. III]). Пусть zo(t) - р-периодическое
решение системы (8.1). Положим г = zo(t) + 6z и линеаризуем уравнения
