Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
гиперплоскость, порожденную базисными векторами еь, en_i. При этом ребро
Г' = /(Г) спроектируется в вершину получившегося выпуклого многогранника.
Рассмотрим ребро Л, примыкающее к этой вершине. С помощью подходящей
целочисленной унимодулярной (п- 1) х (п- 1)-матрицы В2 ребро Л можно
сделать параллельным (п - 1)-й координатной оси. Повторим эту операцию
еще п - 2 раза. Можно проверить, что матрица
-В2 0
0 1
Вп 0 • • 0
* о 1 0
* * о 0 1
В1
будет искомой. Лемма доказана.
Лемма 15. Пусть а и fi - соседние вершины многогранника ?(Д). Если
гамильтонова система вполне интегрируема, то угол между векторами а и fi
не меньше ж/2.
Это утверждение вытекает из леммы 14 и теоремы 2.
Лемма 16. Предположим, что выпуклый многогранник в (К", ( , ))
симметричен относительно начала координат, и угол между радиус-векторами
любых двух соседних вершин не меньше 7г/2. Тогда этот многогранник
является ромбоидом.
Доказательство проведем индукцией по размерности многогранника М. При dim
М = 1 утверждение, очевидно, справедливо. Предположим, что заключение
леммы справедливо при dimM ^ ^ ш. Пусть a - одна из вершин (ш + 1)-
мерного многогранника, а Па - замкнутое полупространство в Rm+1, не
содержащее а, граница которого дПа проходит через начало координат
ортогонально вектору а. По условию все вершины М, соединенные с а ребром,
лежат в Па. На самом деле все вершины М, кроме а, лежат в Па.
Действительно, предположим, что найдется вершина /3, не лежащая в Па.
Выпуклый многогранник М является объединением множества Ма - выпуклой
оболочки всех вершин, кроме а, и множества Ra - выпуклой оболочки
одномерных ребер М, примыкающих к а. Вершина /3, очевидно, не лежит в Ra.
Отрезок Г,
211
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
соединяющий а и (3, целиком расположен в выпуклом многограннике М. Однако
Г имеет с Ra лишь одну общую точку - точку а, так как в противном случае
Г С Ra, и поэтому точка (3 не была бы вершиной М. С другой стороны,
отрезок Г навесь лежит в Ма, иначе М = Ма. Получили противоречие.
Аналогично все вершины М, кроме (-а), лежат в П_а. Таким образом, М
является выпуклой оболочкой точек а, -а и выпуклой оболочки остальных
вершин многогранника М, лежащей в дПа. Последняя является ромбоидом по
предположению индукции. Лемма доказана.
Перейдем к доказательству теоремы 1.
Лемма 1.7. Пусть Р -гиперплоскость в R", причем точки множества Р П Z" С
1" образуют в Ъп подгруппу ранга п - 1. Тогда найдется целочисленная
унимодулярная матрица В, последние п- 1 столбцов (или строк) которой
являются векторами из Р ПР.
Доказательство легко выводится из известных результатов о строении
подгрупп Ъп (см., например, [33, гл. VII]).
Пусть a - одна из вершин ромбоида ?(Д), и Па - замкнутое
полупространство, о котором шла речь в доказательстве леммы 16.
Пересечение дПаПЪп является подгруппой Ъп, ранг которой равен dim?(A) -
1. Дополним эту подгруппу (если необходимо) до подгруппы ранга п - 1 так,
чтобы вектор а не лежал в ней. В силу леммы 17 найдется матрица 5,
последние n- 1 строк которой являются векторами из этой подгруппы, а
первая строка - вектор из Ъп - имеет положительную проекцию на а в
метрике ( , ). После канонической замены координат х -> Вх, у -> (Вт)~] у
имеем:
(i) первая координата каждого вектора т € дПаГ\Ъп равна нулю;
(ii) первая координата вектора а положительна;
(iii) вектор а - максимальный элемент Д (относительно стандартного
отношения порядка -< в Zn);
(iv) если вектор т не лежит в Па, то 0 -< т.
Лемма 18. Если система с гамильтонианом Но + еНу вполне интегрируема, то
все точки Д, не лежащие в Па, принадлежат отрезку Г, соединяющему точки 0
и а.
Предположим противное. В силу свойства (iii) вектор а является вершиной
множества Д. Пусть /3- вершина Д, примыкающая к а. В силу сделанного
предположения и определения примыкающей вершины, вектор (3 не лежит ни в
полупространстве Па, ни на отрезке Г. Векторы а и (3 лежат в одном
полупространстве Еп\Па, поэтоу скалярное произведение (а, /3)
положительно. Следовательно, выполнено условие (5.3), и, согласно теореме
2, система уравнений Гамильтона неинтегрируема. Полученное противоречие
доказывает лемму.
212
§ '6. Некоторые обобщения
0 1 V2
А = 1 0 0
V2 0 0
Применяя лемму 18 ко всем вершинам ромбоида ? (Д). убеждаемся в
справедливости теоремы 1.
§ 6. Некоторые обобщения
1. Невырожденность квадратичной формы Н0 = (Ау, у)/2 в теореме 2 можно
заменить более слабыми условиями:
(i) Ат ф 0 для всех ненулевых целочисленных векторов т;
(й) векторы Аа и А/З линейно независимы.
Отметим, что в случае det Л = 0 эти два условия могут выполняться
одновременно лишь при п ^ 3.
Приведем простой пример. Если
а = (1,0,0)т, (3 - (1, -1,0)т,
то матрица А вырождена, однако условия (i) и (И) выполнены.
2. Отметим, что утверждение теоремы 2 не выполнено в том случае, когда
коэффициенты Фурье возмущающей функции Нi зависят от у. Приведем
поучительный контрпример:
