Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Продолжим анализ множества Пуанкаре. Лемма 9 дает нам, что ат = 0 на
гиперплоскости Гт в том и только том случае, когда А = (а,/3)/(а, а)
совпадает с одним из следующих чисел: О, - 1/2, - 1,..., - (т - 1)/2.
Однако, согласно предположению (5.3), А ф -т/2 при всех целых т ^ 0.
Следовательно, гиперплоскость Гт - {у • (у,тп& + /3) - 0} принадлежит
множеству Pm+1 с Р°°. При m -* оо гиперплоскости Гт накапливаются у
предельной плоскости (у, а) = 0. Доказательство основной леммы завершено.
4. Докажем теоремы 2 и 3. Пусть п аналитических функций
'X)
FW=Y,F$k)(z>yV, l^A^n, (5.21)
л=0
являются первыми интегралами гамильтоновой системы с га-
мильтонианом H0 + eHi. Все функции F*k\ разумеется, 27т-периодичны по
переменным х\,... ,х".
Лемма 12. Функции Fq1\ .. -, Fq1'1 не зависят от угловых переменных
Х\,..., хп. и в точках множества Р°° их якобиан
я(рП) р(п)\
det Лг Г:'-' V (5.22)
" д(у1,---,Уп)
обращается в нуль.
Из основной леммы и леммы 12 сразу же вытекает справедливость теоремы 2.
Действительно, множество Р°° С Кп состоит из бесконечного числа различных
гиперплоскостей, проходящих через начало координат, поэтому Р°° является
ключевым множеством для класса функций, аналитических в К".
Следовательно, по лемме 12, аналитическая функция (5.22) тождественно
равна нулю. Это означает зависимость интегралов (5.21) при е - 0.
Доказательство теоремы 3 использует еще одну вспомогательную конструкцию,
восходящую к Пуанкаре [146, п. 81].
Лемма 13. Предположим, что функции F^\ ..., F^n ^ независимы в некоторой
точке уо € Г, и уравнения Гамильтона имеют дополнительный формальный
интеграл F = ^ Fs(x, у)е'\ независимый от функций F^,..., F^n~1K Тогда
существуют такая окрестность V точки уо в Кп = {у} и такой формальный
интеграл
ОО
Ф = ФД.У, х)е* с аналитическими в V х Т" коэффициентами, .4=0
что функции F0(1),..., F0(n_1) и Ф0 независимы в V х Т".
209
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
Функции Fq1^, ..., FqU ^ и Фо в силу леммы 12 на самом деле зависят лишь
от переменных у. Мы не будем приводить здесь доказательство леммы 13, так
как оно по существу повторяет рассуждения Пуанкаре, воспроизведенные в п.
1 § 1. Доказательство теоремы 3 вытекает теперь из леммы 12, основной
леммы из п. 3 и того обстоятельства, что пересечение Р°° П V является
ключевым множеством для класса функций, аналитических в области V.
Лемма 12 обобщает известное утверждение Пуанкаре о зависимости функций
F0(1),..., F0(n) на множестве Р1 (см. § 1). Первая
М
часть леммы о независимости функций F0 от угловых координат х уже
доказана в п. 1 § 1. Вторая часть выводится из теоремы 1 § ю ГЛ. II: если
якобиан (5.22) отличен от нуля в точках области D С R", то существует
производящая функция S - Sr(u,x)er
rJiO
классической схемы теории возмущений, коэффициенты которой аналитичны в
прямом произведении D х Т".
Выведем отсюда лемму 12. Если якобиан (5.22) отличен от нуля в некоторой
точке у0 G Р00, то он отличен от нуля в целой окрестности V этой точки.
Следовательно, в V х Тп можно (по крайней мере формально) построить ряды
теории возмущений по степеням е с аналитическими коэффициентами. Однако,
по определению множества Пуанкаре Р°°, в точках из {г/о} х Тп С V х Тп
хотя бы одна из функций Sr (г = 1,2,...) не является аналитической.
5. Перейдем к доказательству теоремы 1. Выполним каноническое
преобразование х,у -* х',у' по формулам у' = (Вт)~1у, х' = Вх, где В -
целочисленная унимодулярная матрица. В новых переменных гамильтониан Н0 +
Н\ будет иметь тот же вид, а множество Д перейдет в множество Д' = {гл/},
т' = (Дт)_1т. Целочисленные векторы т преобразуются так же, как и
импульсы у, поэтому выполнение условия интегрируемости (5.3) можно
проверять в исходных переменных. Действительно, пусть а, b - векторы из
Zn, и a1, U - их образы при отображении т -> (ВТ) 1тп. Тогда (а1, Ь')1 =
(ВАВта',Ь') = {Аа, Ъ) = (а,Ъ).
Докажем сначала следствие 2 теоремы 1. Пусть ?(Д) - выпуклая оболочка
множества Д. Это - выпуклый многогранник в IRn.
Лемма 14. Пусть а - вершина многогранника ?(Д), Г - примыкающее к ней
ребро, (3 - ближайшая к а точка множества Д П Г. Тогда существует такая
целочисленная унимодулярная матрица В, что при отображении m -> m' -
(BT)~lm точки а и (3 переходят в вершины множества Д'.
Доказательство основано на индуктивном применении следующего известного
алгебраического факта: для любого целочисленного вектора ki = (fc(,... Д-
^1) со взаимно простыми координата-
210
§ 5. Критерий интегрируемости (для тригон. многочлена)
ми найдется еще т - 1 таких целочисленных векторов к2,... ,кт, что det
\\klj\\ = ±1. Пусть I - наибольший общий делитель компонент вектора а -
fi, и В\ -целочисленная унимодулярная (п х п)-матрица, нижняя строка
которой состоит из компонент вектора (а -/3)//. При отображении т -> /(m)
= (Bj)~1m вектор (а - (3)/1 перейдет в вектор е" = (0,..., О,1)т.
Спроектируем теперь выпуклый многогранник ?(Д'), Д' = = /(Д), на
