Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Мх с невырожденной целочисленной Г
матрицей М = : и расширим его до канонического
преобра-
kn
зования х, у -> х', у', полагая у' = (Мт)~1у. В новых переменных ху'
функция Гамильтона Н0 + еН\ приводится к виду
\ (? a'iiy'iZ + Yl X] а'цУгУ']) + ?Л MXi)" (5 Л)
\i=l j=1 i>d J i=l
где аГ = const, /,- - 27г-периодические тригонометрические многочлены.
Ясно, что переменные х', у' разделяются, поэтому уравнения Гамильтона с
гамильтонианом (5.1) имеют следующий набор 71 независимых коммутирующих
интегралов:
Fi = \{а'чУ? + y'i ЪГЛ) + sfAx'i)- 1 ^i^d,
s>d
Fj = y'p j > d.
Возвращаясь к старым переменным х, у, получим набор интегралов, линейных
по е (или вообще не зависящих от е), коэффициенты которых - аналитические
функции в йп х Тл = {у, х mod 27г}.
Положим теперь е = 1 и рассмотрим уравнения Гамильтона с гамильтонианом
Но + Н\. Как уже отмечалось в п. 4 § 1 гл. II, если система с
гамильтонианом Но + Нi имеет п полиномиальных по импульсам интегралов с
независимыми старшими однородными формами, то система с гамильтонианом Но
+ еН\ имеет п аналитических по е первых интегралов, независимых при е =
0. С
200
§ 5. Критерий интегрируемости (для тригон. многочлена)
другой стороны, как показал С. Л. Зиглин [66], если рассматриваемая
система имеет г независимых полиномиальных интегралов, то она обязательно
имеет г интегралов того же вида с независимыми старшими однородными
формами. С учетом этих замечаний из теоремы 1 выводится любопытное
Следствие. Если уравнения Г амильтона с гамильтонианом Но + Hi имеют п
независимых полиномиальных интегралов, то они имеют п независимых
коммутирующих полиномиальных интегралов не выше второй степени.
Замечание. По-видимому, это утверждение справедливо и в более общем
случае, когда потенциальная энергия Hi - произвольная аналитическая
функция на Т" = {х mod 27т} (а не только тригонометрический полином). М.
Л. Вялый [39] доказал эту гипотезу в частном случае, когда п = 2 и
гамильтонова система имеет дополнительный полиномиальный интеграл не выше
четвертой степени. Отметим, что задача о дополнительном полиномиальном
интеграле заданной степени много проще задачи о наличии интеграла в виде
полинома, степень которого заранее не фиксирована.
Рассмотрим к ортогональных прямых в (Кп, ( , )), пересекающихся в нуле;
на каждой возьмем по две точки, расположенные на равных расстояниях по
разные стороны от точки О € R". Выпуклую оболочку этих 2к точек назовем
А;-мерным ромбоидом. Число /-мерных граней /г-мерного ромбоида есть
2,+1С[+1; в частности, этот многогранник имеет 2к вершин и 2к граней
размерности к - - 1. Ясно, что fc-мерный ромбоид является выпуклым
многогранником, двойственным А;-мерному параллелепипеду.
Следствие 2. Если уравнения Г амильтона с гамильтонианом Но + Н\ имеют п
независимых полиномиальных интегралов, то выпуклая оболочка множества А
является k-мерным ромбоидом (к ^ п), причем на этом ромбоиде нет точек из
А, отличных от вершин.
В качестве примера рассмотрим систему с потенциалом вида
где /(•) - четная функция, являющаяся непостоянным 27г-перио-дическим
тригонометрическим многочленом (потенциал парного взаимодействия). Можно
показать, что здесь выпуклой оболочкой множества Д является (п - 1)-
мерный многогранник с 2С\ вершинами. Так как 2С^ > 2(п - 1) при п ^ 3, то
в этом случае система с потенциалом (5.2) не имеет полного набора
полиномиальных интегралов; это не зависит от вида евклидовой метрики ( ,
).
(5.2)
201
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
В работе Адлера и ван Мёрбеке [177] рассмотрен частный случай этой
задачи: метрика ( , ) -стандартная метрика в К", f = - cos(-). Это -
классический вариант системы Гросс - Невё, хорошо известной в
теоретической физике. Функция Гамильтона имеет вид Я = - J2 Уя + Е cos(xi
- Xj).
К этому же виду приводится гамильтониан задачи о движении по окружности
71 одинаковых точек, попарно связанных упругими пружинами. С помощью
метода Ковалевской в [177] доказано, что при п = 3 и 71 = 4 для почти
всех начальных условий переменные у, и ехр(гхя) не будут мероморфными
функциями комплексного времени. В частности, система Гросс - Невё
алгебраически неинтег-рируема. Подчеркнем, что алгебраически
неинтегрируемые системы могут быть вполне интегрируемыми (см. § 9 гл.
II).
2. Введем в Ъп стандартное отношение лексикографического порядка,
обозначаемое в дальнейшем символом гг -< <5, если для наименьшего индекса
s, при котором ега ф <5Я, выполнено неравенство егя < 6S. Мы скажем, что
гг =<: <5, если гг -< <5 или а = 6.
О п р еделение. Пусть а -наибольший элемент А, а /3 - наибольший линейно
независимый с а элемент множества А \ {а}. Вектор а назовем вершиной А, а
вектор /3 -вершиной А, примыкающей к а.
Оставляя в стороне тривиальный случай интегрируемости, когда все точки из
Д лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, будем
предполагать в дальнейшем, что примыкающая вершина /3 всегда существует.
