Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство теоремы 1 основано на применении следующего утверждения,
представляющего самостоятельный интерес.
Теорема 2 [97]. Пусть а,(3 -вершины А, и
т(а, а) + 2(а,/3) Ф 0 (5-3)
для всех целых т ^ 0. Тогда гамильтонова система с функцией Г амильтона
Но + еН\ не имеет п формально аналитических интегралов, независимых при е
= 0.
Подчеркнем, что для справедливости теоремы 2 нужна лишь невырожденность
квадратичной формы Н0. Теорема 2 доказывается с помощью теории
возмущений. Оказывается, свободные ко-
(Л
эффициенты интегралов - функции Fg - не содержат угловых координат х и
зависимы во всех точках гиперплоскостей (у, та + 4-/J) =0. Ввиду
аналитичности и предположения о линейной независимости а и/3, функции Fg^
зависимы всюду на IRn = {у}. Точки
202
§ 5. Критерий интегрируемости (для тригон. многочлена)
у € Кп, лежащие на гиперплоскости {у, та + (3) = 0, отвечают резонансным
торам невозмущенной интегрируемой задачи, которые разрушаются на т-м шаге
теории возмущений.
Теорема 3. Пустьаи(3-векторы из Д, удовлетворяющие условиям теоремы 2.
Если гамильтонова система с гамильтонианом Н0 + еН\ имеет п - 1
однозначный аналитический интеграл
Е0(1) + гЕ1(1) + ...,
+ eF^ + ...,
причем функции F^K ..., Eg" ^ независимы хотя бы в одной точке из Г х Т",
где Г -гиперплоскость (а, у) = 0, то уравнения Га-
(*) (О
мильтона не имеют независимого от функций Fq + sF(' + ... (1 ^ s ^ и - 1)
интеграла в виде формального ряда J2 Fr(y,x)er с аналитическими в1"х Т71
коэффициентами.
Из теоремы 3 выводится
Следствие. Пусть векторы а, /3 € А удовлетворяют условиям теоремы 2 и Г-
гиперплоскость (а, у) = 0. Предположим, что система с гамильтонианом Но +
Hi имеет п-1 полиномиальный интеграл FW,..., F(n~l\ старшие однородные
формы которых независимы хотя бы в одной точке из Г х Т" С Кп х Тп. Тогда
уравнения Гамильтона не имеют дополнительного полиномиального интеграла,
независимого от функций F^l\ ..., F^n~l\
Оставшаяся часть § 5 посвящена доказательству теорем 1-3.
3. Основная лемма. Пусть а и /3 -вершины множества А, удовлетворяющие
условию (5.3). Тогда множество Рк содержит гиперплоскость (ka+fj, у) = 0.
В частности, вековое множество Р°° состоит из бесконечного числа
различных гиперплоскостей, и его замыкание содержит гиперплоскость (а, у)
= 0.
Пусть S = So + sS\+?2S2 + • • ¦ - производящая функция канонического
преобразования из теории возмущений (см. § 3). Положим Sm = ХУ
Sn(y)e,(T,x) (т 6 Z" \ {0}). Согласно (4.5),
S\ = ihT/{w,T), тф 0. (5.4)
Коэффициенты Фурье STm (m = 2,3,...) находятся по следующей индуктивной
формуле:
sr-=2iitv) ? <*{>^- <5-5>
' ' ' u+u=m,
<7 + <5-г
203
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
Эта формула - следствие соотношений (4.4). Ясно, что SТг можно
представить в виде дробей, в знаменателях которых стоят выражения вида
(ш, т) и их произведения.
Из определения лексикографического порядка следует, что а>-0иа>-7 для
всех 7 G Д \ {а}.
Лемма 1. Функции S,Г тождественно нулевые при т >- га.
Доказательство проводится индукцией по г. Для г - 1 справедливость леммы
вытекает из формулы (5.4) и определения вершины а. Предположим, что лемма
справедлива для всех г ^ т. Функция S^+i вычисляется по формуле (5.5).
Пусть т >- (г + 1)о:. Покажем, что в любом слагаемом правой части (5.5)
должен присутствовать сомножитель Sгде т >- ша, ы ^ г, равный нулю по
предположению индукции. Действительно, если т =<; иа и <5 =<: va, то о +
6 4 (и + v)a = (г + 1)а -< т. Но это противоречит условию суммирования сг
+ <5 = т. Лемма доказана.
Лемма 2. Справедливо равенство
- 1ВД Е - (=.6)
4 ' u+v-m
Доказательство. Выведем (5.6) из (5.5), положив т = та. Будем
рассматривать в (5.5) лишь ненулевые слагаемые. Согласно лемме 1,
справедливы соотношения сг =<: иа, 6 =<: va и сг + 6 = та = (и + v)a.
Отсюда сг = иа и 6 = va, что и требовалось доказать.
Лемма 3. Справедливо равенство
s""=4l^r,(sir' (5j)
где
к, = 1, Кт = 5] (5.8)
u+v=m
Доказательство проводится индукцией по т. При т = 1 формула (5.7)
тривиальна. Пусть при m ^ г лемма 3 справедлива. Тогда
о(г+ 1)а _ (а1 а)
r+1 2i(r+l)(w,a)
Е
u-\-v- =r-t- 1
uvKu Kv
(a, a)
i(ui, a) = I<r+i
u+v-2
(5")tt+u (a, a)
i(w, a)
(5f)
asr+l
204
§ 5. Критерий интегрируемости (для тригон. многочлена)
Лемма 4. Если вектор т линейно независим с а, и (тп - - 1)а + (3 ~< т -<
та, то 5^ = 0.
Справедливость этого утверждения при т = 1 вытекает из определения вершин
а и /3. Пусть оно справедливо при всех т ^ г. Воспользуемся формулой
(5.5) при т = r+ 1. Согласно предположению индукции и лемме 1,
произведение S°Sy может быть отличным от нуля лишь в следующих случаях:
1) векторы а, сг, 6 попарно линейно зависимы;
2) сг =<: иа, 6 =<: (и - 1)а + /3 или сг =<! (и - 1)а + (3, 6 =<: va.
В первом случае, очевидно, вектор т параллелен а, а во втором т = сг + <5
=$ (u + v - 1)а + (3 = га + (3, что и требовалось доказать.
Лемма 5. Справедливо равенство
? <""• "+<5'9>
' ' u+"=m,
