Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
функции двузначны: после возвращения в окрестность исходной точки на
SO(3) они принимают одно из двух возможных значений.
§ 4. Обратимые системы с торическим пространством положений
1. В этом параграфе изучаются гамильтоновы системы вида
ОН дН
Хк = д-, Ук = ~7.¦-, 1 ^ к ^ п; Я - Н0{у) + еН\{х). (4.1)
ОУк OXk
Функция Но - невырожденная квадратичная форма по импульсам ух,... ,у" с
постоянными коэффициентами:
1 "
<Н3УгУ]- det || a. 1| ф 0. (4.2)
ij=1
Функция Hi аналитична на торе Tn = {xi,..., хп mod 2л} размерности п.
Гамильтонова система (4.1), конечно, является частным случаем систем, о
которых говорилось во введении к этой главе. Она сохраняет наиболее
существенные черты общего случая, однако ее анализ проще в техническом
отношении.
Если форма Но положительно определена, то уравнения (4.1) описывают
динамику обратимой механической системы на п-мер-ном торе с кинетической
энергией Н0 и малым потенциалом гН\. Пусть ? = (?i,...,?") иг} -
(г}1,..., г}") - векторы из Rn. Вве-
П 71
дем следующие обозначения: (?, ц) - )Г &Т76 (?,77) = )Г а^щ. С
г = 1 ij = 1
их использованием формулу (4.2) можно записать короче: Но = = (у, у)/2. В
дальнейшем анализе важную роль будет играть раз-
7*
195
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
ложение Фурье возмущающей функции:
Hi = hm = const, m € Z". (4-3)
Следуя Пуанкаре, поставим задачу о наличии у системы (4.1) полного набора
независимых интегралов (в количестве п) в виде степенных рядов Fk(x,y)sk
с аналитическими и 27г-периодичес-кими по х коэффициентами. Подчеркнем,
что совсем необязательно требовать сходимости этих степенных рядов.
Используя невырожденность невозмущенной задачи с гамильтонианом Но, можно
показать (см. ниже), что формальные интегралы, составляющие полный набор
интегралов, находятся попарно в инволюции.
Как было показано в § 10 гл. II, задача о наличии полного набора
независимых формальных интегралов тесно связана с возможностью реализации
классической схемы теории возмущений. Укажем некоторые явные формулы,
которые будут использованы в дальнейшем.
Основная идея теории возмущений состоит в поиске такого канонического
преобразования у, х mod 27т -> и, v mod 27г, зависящего от е, чтобы в
новых переменных гамильтониан Но + еН\ принял вид Ко(и) + еК\{и) +
е2К2{и) + • • • Если такое преобразование удается найти, исходная система
уравнений Г амильтона бу-
8S 8S
дет проинтегрирована. Ьудем искать его в виде у; = --, ы = --
(1 ^ г ^ n); S - So(u,x) + eS\(u,x) + ... Положим So = ц тогда при е == 0
имеем тождественное преобразование. Производящая функция S должна
удовлетворять уравнению Гамильтона - Якоби: Но (dS/dx) + ?Н\(х) = Ко(и) +
еК\(и) + ... Разлагая левую часть этого уравнения в ряд по степеням г и
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим бесконечную
цепочку уравнений для последовательного отыскания Si, 5г,...:
дН0 dSx
+ Hi{x) = I<i[u),
?
, дик dxk
К
dHo dS2 1 ^Si dS\ , 4 E + 2 E^ fe-g^ ='"")•
k tj
(4.4)
v- dSm 1
e-* дщ dxk 2 E-'
! j
E-< dx{ dxj
р+д=т J
Нетрудно показать, что уравнения (4.4) имеют единственное (фор-
196
§ 4- Обратимые системы с торическим пространством
мальное) решение Si, ?2,... в виде тригонометрических рядов по хп с
нулевыми свободными коэффициентами: Sm =
= Yl' ^т{и)е^Т'х^ (т Е Zm\ {0}). Решим первое уравнение системы
(4.4) методом Фурье. Используя формулу (4.3), получим
где ш = (и?1,... ,ып), шв = дНо/див. Ясно, что (ш,т) = (и,т). Из формулы
(4.5) видно, что функция Si не определена в точках из Rn = {г*}, лежащих
на гиперплоскостях {т,и} = 0, hT ф 0. Множество всех таких точек назовем
множеством Пуанкаре первого порядка и обозначим Р1 (в § 1 оно
обозначалось Pi).
Решая второе уравнение системы (4.4) методом Фурье, получим формально S\
= ih!*/ {u,k), где
Аналогично решаются другие уравнения системы (4.4).
2. Теорема li. Если множество Пуанкаре Р1 состоит из бесконечного
числа различных гиперплоскостей, то система (4.1) не имеет п формальных
интегралов Y Fk?h с аналитическими коэффициентами Fk : Rn х Tn -> К,
независимых при ? = 0.
Теорема li просто выводится из следующего утверждения: если система (4.1)
имеет п интегралов
и\ух,.-.,уп)
Это утверждение - простое следствие леммы 1 из § 1.
Докажем теперь теорему 1ь Воспользуемся следующим наблюдением:
объединение бесконечного числа различных гиперплоскостей в Rn, проходящих
через начало координат, является ключевым множеством для класса функций,
аналитических в Rn. Действительно, пусть П-одна из "предельных"
гиперплоскостей множества Р1, и пусть точка а не лежит на П. Через точку
а можно провести прямую I, трансверсально пересекающую П в точке,
отличной от начала координат (рис. 13). Тогда I пересекает беско-
К\ = ho', S[ = ihTj(ш, т), т ф 0,
(4.5)
(4.6)
F^\x,y)F?F^\x,y)F...,
197
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
нечное число различных гиперплоскостей из Р1. Пусть /-аналитическая
функция в Еп, обращающаяся в нуль на множестве Р1. Ясно, что ограничение
