Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
Если v ф 0, то и = A(z)v, где А- аналитическая функция на М, которая
является интегралом системы (8.1) (см. § 3 гл. II). Соглас-
222
§ 8. Рождение изолированных периодических решений
но теореме 1, d\ = 0 в точках множества Г. Так как множество Г ключевое,
то Л = const, что и требовалось доказать.
Замечание. Пусть М - гладкое многообразие, и v - гладкое поле на нем.
Если множество Г всюду плотно в М, то любое дифференцируемое поле
симметрий и линейно зависимо с полем v во всех точках М. Если, кроме
того, и / 0, то и = Ап, А = const. Доказательство очевидно.
В качестве примера рассмотрим обратимую механическую систему с компактным
пространством положений М, кинетической энергией Т и потенциальной
энергией V. Пусть h - постоянная
энергии, превосходящая шах V. Согласно принципу Мопертюи,
м
проекции фазовых траекторий, лежащих на компактной энерге-тической
поверхности Eh = {х,.т : Т + V = h}, на многообразие М совпадают с
геодезическими линиями метрики (dp)2 = 2(h - - V)T(dt)2. Предположим, что
гауссова кривизна любой двумерной поверхности, вложенной в риманово
многообразие (M,dp), отрицательна. Тогда уравнения движения на Е/,
порождают У-систему (или систему Аносова [6]). Эта ситуация обсуждалась
нами ранее в связи с топологическими препятствиями к интегрируемости (см.
§ 1 гл. III). Характерный признак У-систем - экспоненциальное разбегание
траекторий. В частности, все периодические траектории гиперболичны:
мультипликаторы вещественны и отличны от ±1. Известно [6], что
совокупность периодических траекторий всюду плотно заполняет Е.
Еиперболические траектории невырождены, поэтому отсюда вытекает
отсутствие нетривиальных дифференцируемых полей симметрий, определенных
на всем Е. В частности, уравнения движения не допускают многозначных
интегралов.
3. Предположим, что система (8.4) имеет к независимых интегралов ...,
Fk и I полей симметрий щ,... ,щ, линейно независимых в точках
периодической траектории у. Из теорем I и 2 вытекает, что
характеристическое уравнение \Р - рЕ\ = 0 имеет корень р - 1 кратности не
менее max(k,l - 1). При некоторых дополнительных предположениях эту
оценку можно улучшить.
Теорема 3. Предположим, что каждая из функций Fi,... ,Fk является
интегралом каждой из динамических систем z' = щ,..., z' = щ. Тогда корень
р = 1 характеристического многочлена |Р - рЕ | имеет кратность не ниже k
+ I - 1.
Доказательство. Положим F3 = Fj(x) + (у, fj(x)) + + о(у). Как отмечено в
п. 2, функция F(r) постоянна. Представим динамическую систему z' = ur в
виде (8.9):
x'=Vr(x .у), y'=Wr(x,y). (8.11)
223
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
Функция Fj - интеграл уравнений (8.11), поэтому F{- = = (wr,fj) + 0{у),
где wr(x) = Wr(a;,0). Полагая у = 0, получим соотношения
{fj t wr) = 0 , (8.12)
Согласно результатам п. 2, Pwr = uy, PTfj = fj, причем ковек-торы {fj}
линейно независимы, а среди семейства векторов {гиг} имеется по крайней
мере I - 1 линейно независимых.
Приведем матрицу монодромии Р к жордановой форме. Ясно, что каждому из
линейно независимых векторов w отвечает своя жорданова клетка вида
1 1 0 0
0 1 1 •
0
0 1 1
0 0 0 1
Пусть ковектор / соответствует той же жордановой клетке. Тогда w и /
имеют лишь по одной ненулевой компоненте. Пусть гсд ф 0 и /" ф 0; тогда и
- ц +1 совпадает с размером жордановой клетки. В частности, и ^ р. Ввиду
(8.12), и > р. Итак, если пара w,f отвечает одной жордановой клетке, то
размер клетки ^ 2. Следовательно, кратность соответствующего корня р = 1
характеристического уравнения |Р - рЕ\ = 0 не меньше двух. В итоге
получаем, что кратность единичного мультипликатора не ниже к + I - 1, что
и требовалось показать.
Рассмотрим теперь случай гамильтоновых систем. Пусть 7 - замкнутая
траектория автономной гамильтоновой систем с гамильтонианом Я. Так как dH
^ 0 в точках 7, то, по теореме 1, один из мультипликаторов обязательно
равен единице. Поэтому периодические решения гамильтоновых систем
вырождены в смысле определения п. 1. Предположим, что периодическая
траектория 7 лежит на энергетической поверхности Е = {Н = const}, и лишь
один из ее мультипликаторов равен единице. Нетрудно показать, что 7,
рассматриваемая как периодическая траектория гамильтоновой динамической
системы на Е, невырождена. В этом случае 7 естественно назвать
изоэнергетически невырожденной периодической траекторией.
Теорема 4 (Пуанкаре [146]). Предположим, что имеется к инволютивных
интегралов F\,... ,Fk, причем функции Н, Fi,... ,Fk независимы хотя бы в
одной точке 7. Тогда по меньшей мере 2k + 1 мультипликаторов
периодической траектории 7 равны единице.
224
§ 8. Рождение изолированных периодических решений
Следствие. Все мультипликаторы периодических траекторий, лежащих на
инвариантных торах вполне интегрируемой гамильтоновой системы, равны
единице.
Теорема 4 является следствием теоремы 3. Действительно, уравнения Г
амильтона допускают k + 1 независимых интегралов Н, Fi,Fk и к + 1 линейно
