Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
это не так, то /гте1ТгА - Ъ,Те~гт'гХ = /ггегТ2Л + hTc~lTlX - 0. Поскольку
ехр(гт2Л) Ф 0, то hThT = 0. Но это противоречит указанному выше свойству
а). Условия (8.15) выполняются автоматически ввиду положительной
определенности формы Но (см. п. 5). Теорема доказана.
Используя теорему 6, получаем, что если выпуклая оболочка Д не является
ромбом, то уравнения Гамильтона с гамильтонианом (8.25) при е > 0 имеют
бесконечно много различных изоэнергетически невырожденных решений с одним
и тем же периодом (или энергией). К сожалению, область существования этих
решений по ? неограниченно уменьшается при к -> оо. Поэтому при каждом
фиксированном ? > 0 мы можем гарантировать существование большого, но
конечного числа изоэнергетически невырожденных периодических решений. Это
обстоятельство не позволяет доказать неинтегрируемость системы (8.25) при
малых фиксированных значениях ? > 0. Однако можно доказать отсутствие
аналитического по ? семейства первых интегралов и нетривиальных групп
симметрий.
В качестве примера рассмотрим задачу трех частиц единичной массы на
гладкой окружности единичного радиуса, которые упруго притягиваются или
отталкиваются. Пусть ж,- mod 2л-угловые координаты этих точек, у{ -их
моменты. Гамильтониан имеет вид (см. § 7)
H = \Y1у*2 + г соз(;Гг' " •т?)- (8-27)
i'j
Понижая число степеней свободы с использованием интеграла момента,
получаем гамильтонову систему с двумя степенями свободы (см. п. 2 § 7).
Выпуклая оболочка множества Д изображена на рис. 14. В качестве вершин
возьмем два вектора: а = (1,0) и /3 = (0. -1). Ясно, что компоненты
вектора ка + (3 = (А;,-1) взаимно просты, и (ач3) > 0. Следовательно, по
теореме 6 система с
232
§ 9. Невырожденные инвариантные торы
гамильтонианом (8.27) не интегрируема ввиду наличия бесконечного числа
семейств изоэнергетически невырожденных долгопериодических решений.
§ 9. Невырожденные инвариантные торы
1. Предположим, что система дифференциальных уравнений
имеет fc-мерный инвариантный тор Тк, заполненный траекториями условно-
периодических движений. В малой окрестности этого гора можно ввес ти
координаты хр, .. ., .г*, mod 2ж, гд,. .. , ут, в которых уравнения (9.1)
примут вид
Здесь и) = (од.. .., ид.) - вектор постоянных частот условно-
периодических движений на Т1', /(.т,0) = 0. д(х,у) = 0([у|2).
Инвариантный тор задается, очевидно, уравнением у = 0. Элементы
квадратной матрицы О порядка т 27Г-нериодически зависят от
;ГЬ . . .,Тк.
При к = 1 получаем уравнения (8.2). Как уже отмечалось в п. 1 § 8, в этом
случае линейной заменой координат у, 27г-периоди-чески зависящей от х, Q
можно привести к постоянной матрице (теорема Ляпунова - Флокс). Однако
при к > 1 такое приведение не всегда возможно (обсуждение этих вопросов
можно найти, например, в [10]). Будем предполагать, что матрица Q
постоянна; именно этот случай встретится в приложениях (см. п. 1 § 10).
Линейные уравнения
естественно назвать уравнениями в вариациях. Роль характеристических
показателей играют собст венные числа матрицы П. Как и в случае к = 1,
наличие нет ривиальных интегралов и групп симметрий системы (9.2)
накладывает существенные ограничения на спектр матрицы П.
Пусть Н ~ однозначный интырал системы (9.2). В окрестности инвариантного
тора эту функцию можно представить в виде Н = -- Но(х) н--(у, h(.r)) -у-
f7(j//]г); здесь //0 и И -¦ функция и ковекторное поле на инвариантном
горе ТР
Л е м м а 1. Нуст ь частоты ад ад /национально несоизмеримы. Тогда /7( j
con Л, а попе h удовлетворяет уравнению
Z - v(z), Z 6 Mm'k
(9.1)
т = LU + f(x,y), у = Пу + g(x,y).
(9.2)
? = Z е ЕГ,
(9.3)
(9.4)
233
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
Доказательство этого утверждения повторяет рассуждения п. 2 § 8.
Предположим, что система (9.2) допускает группу симметрий- фазовый поток
системы дифференциальных уравнений х' = = V(x,y), у1 = W(x,y), правые
части которых 27г-периодичны по координатам х\,... , т*.
Лемма 2. Векторное поле w(x) = W(х. 0) удовлетворяет уравнению
(9-5)
Лемма 2 просто доказывается методом п. 2 § 8.
Пусть x(t) - условно-периодическое движение на А;-мерном инвариантном
торе. Вектор-функция w(x(t)) удовлетворяет уравнениям в вариациях (9.3).
Линейные системы (9.4) и (9.5) сопряжены друг другу: (h,w) = const.
Действительно, согласно (9.4) и (9.5), функция <р = (h, w) удовлетворяет
линейному уравнению
g,w)=°. (9.6)
Положим <р = Y1 ехр[г(Л,ж)], Л ? Ък, и воспользуемся уравнением (9.6):
*Va(A, и;) ехр[г(А, х)] - 0. Следовательно, (Л, со)<р\ = 0.
Так как (А, о>) ф 0 при А ф 0, то все <рд, кроме <р0, равны нулю. Поэтому
<р = <ро = const.
2. Теорема 1. Предположим, что система (9.2) допускает г интегралов,
независимых хотя бы в одной точке инвариантного тора Т*. Тогда матрица П
имеет (с учетом кратностей) по меньшей мере г собственных чисел вида
i{X,iS), А ? Ък.
Пусть к = 1. Тогда матрица монодромии Р = ехр{2лО,/ы) имеет собственное
значение р = 1 кратности ^ г. Следовательно, теорема 1 содержит как
