Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
= ил Ввиду (9.12), z±(t) -+ 0 при t -* ±ос. Траектории X - cot, + Хи
всюду плотны на ?п-мерном торе Tm = {X mod 27г}, поэтому zp{X) = 0.
Итак, с точност ью) до несущест венного постоянного слагаемого F = (уо,
Y) + Ог/И, Z), уо = const. Ясно, что интегралы независимы в точках тора
Тт в том и только том случае, когда линейно независимы соответствующие
постоянные векторы уо- Поскольку Уо € Шт, число независимых интегралов не
превосходит ш. Лемма доказана.
Отметим, что в приводимом случае заключение леммы 3 вытекает из теоремы 3
настоящего параграфа. Торы, о которых шла речь в лемме 3, можно назвать
гиперболическими', они являются прямым обобщением гиперболических
периодических решений из § 8.
6. Согласно теореме Ляпунова-Флоке, уравнения (9.11) приводимы при 771
= 1. Покажем, что при I - 1 они также приводимы, если частоты од, . ..
,сот сильно несоизмеримы:
| (А*, о,')| ф о / j A- j ^= const > 0, (9.14)
для всех к 6 Zm. В этом случае задача сводится к
исследованию
одного уравнения
d = S2(X)r, ХеГ. (9.15)
Выполним обратимую замену переменных л -+ ? по формуле z = - (и, где и, -
положительная функция на Тт. Предположим, что после такой замены
уравнение (9.15) перейдет в уравнение
С == сф с - const . (9.16)
Тогда искомая функция и будет удовлетворять уравнению
(ди/ОХ, со) = (U - е)и. По предположению и > 0, поэтому мож-
237
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
но положить и = exp v. Тогда
(9.17)
Положим
(9.18)
Поскольку выполнено (9.14), то в предположении гладкости функции П
уравнение (9.17) имеет гладкое решение v : Tm -" R.
Итак, если выполнено условие (9.14), то уравнение (9.15) переходит в
(9.16), причем постоянная с определяется формулой (9.18), и и - exp v,
где v - решение "гомологического" уравнения (9.17).
§ 10. Рождение гиперболических инвариантных торов
1. Обратимся вновь к "основной проблеме динамики" по Пуанкаре. Речь
пойдет о гамильтоновых системах с вещественноаналитическими
гамильтонианами
Предположим, что при у = у° частоты невозмущенной задачи o7i = dH0/dyi,
..., шп = дНо/дуп рационально соизмеримы. Более точно, имеется такая
нетривиальная подгруппа Л группы Z", что (а>, т) = О для всех т € Л.
Пусть rank X - Inm - п-l. Согласно теории абелевых групп, найдутся такие
п векторов т[,... ,Гт, ri,..., 77 из Z", что матрица Ко, столбцами
которой являются компоненты этих векторов, унимодулярна (ее определитель
равен единице), и векторы Т\,..., 73 порождают группу Л.
Положим К - || ть ... ,771|, К' = ||т[,... ,7^||. Матрицы К и К' имеют
соответственно размеры их I и пхт. Ясно, что rank Я' = /, rank К' = т,
КТш = 0.
Инвариантный тор у - у° невозмущенной системы является резонансным и
расслаивается на m-мерные нерезонансные инвариантные торы
Тт(т°, у°) = {х, у : у = у0, Кт(х - х°) = 0 mod 2п}. (10.2)
Оказывается, при выполнении некоторых условий не все торы
(10.2) разрушаются при добавлении возмущения, и лишь немного
деформируются. Этот результат, полученный Д. В. Трещёвым, является
расширением теоремы Пуанкаре о рождении периодических решений (п. 5 § 8).
Но{у) + sH\(x, у) + о(е), у €. D С К71, х G Т", ? € (-?(ь ?о),
?0 > 0.
(10.1)
238
§ J0. Рождение гиперболических инвариантных торов
Перейдем к точным формулировкам. Положим
д2Н0,
П =
ду2
лу)
Hi(x,y°) = '^ГНТexp[i(r,x)}, r?Zn. (10.3)
Усредним функцию Н\ по невозмущенным траекториям. Для этого перейдем к
новым угловым переменным z по формуле z = К^х и положим х - ivt+x°. Тогда
z = ш*t+z°, где ш* - ш, z° = Kjх°. Поскольку Ко = IА7, А|| и Кти = 0, то
ш* = (cnf,... ,w*m, 0,..., 0)т. Ясно, что новые частоты орационально
несоизмеримы, так как в противном случае ранг группы Л был бы больше I.
Положим z° = (0,... j 0, Ai,..., Л;) и проведем усреднение по времени:
h(\) = lim k Jq Hi((vt + x°,y°)dt.
T-+OQ
Функцию h : Тг -> R можно получить по-другому, выбрасывая из ряда Фурье
(10.3) все члены, отвечающие векторам т, не принадлежащим группе Л: h(А)
= Нк>1 ехр[г(р, А)], р 6 Ъ1.
eV)
Пусть dh(А0) = 0 и V =
д\2
. Согласно теории Морса, в
типичной ситуации функция h имеет не менее 21 различных критических
точек.
Теорема 1 [161]. Пусть выполнены следующие условия:
1) det П ф 0;
2). ни одно из собственных чисел матрицы VК1 ПК не является положительным
вещественным числом или нулем;
3) числа ,..., ы*т сильно несоизмеримы:
-N
c,N> 0,
(10.4)
\uiPi + ... + итр*т\ > СМ
для всех целых v\,..., um, не равных одновременно нулю.
Тогда при малых е ^ 0 существует семейство т-мерных инвариантных торов
Т"! гамильтоновой системы с гамильтонианом
(10.1), сплошь заполненных траекториями условно-периодических движений с
частотами ,..., ш*т, причем Т(tm) совпадает с тором Тт(х°,у°), где Ктх° = A0
mod 27г.
Более того, существует такая аналитическая по х, у, у/ё каноническая
замена координат (х; у) -" (X, Z i; Y. ZJ), где
X = (Хь .. .,Xm) mod 2л, Y = (Уь ..., Ym),
Z± = (Zf,..., Z^), dx Л dy = dX A dY + dZ+ A dZ_,
239
Глава IV. Неинтегрируемость гамильтоновых систем
